Question

Clasa a V-a
E:15790. Determinati restul împărţirii numărului (2 la puterea n ...+ 5) totul la puterea 2020. - 1 la
10. unde n este număr natural. multumesc​

Answer 1

Rezolvare:

(2ⁿ+5)²⁰²⁰-1 mod 10?

incercam sa aflam ce resturi da numarul 2ⁿ la 10 in functie de n.

daca n=M₄, atunci 2ⁿ este M₁₀+6.

daca n=M₄+1, atunci 2ⁿ este M₁₀+2.

daca n=M₄+2, atunci 2ⁿ este M₁₀+4.

daca n=M₄+3, atunci 2ⁿ este M₁₀+8.

deci numarul de forma (2ⁿ+5)²⁰²⁰, in functie de n poate fi de formele :

1. n=M₄ ⇒ (2ⁿ+5)²⁰²⁰=(M₁₀+6+5)²⁰²⁰=(M₁₀+11)²⁰²⁰=M₁₀+1²⁰²⁰=M₁₀+1.

2. n=M₄+1 ⇒ (2ⁿ+5)=(M₁₀+2+5)²⁰²⁰=(M₁₀+7)²⁰²⁰=M₁₀+7²⁰²⁰=M₁₀+M₁₀+1=M₁₀+1.

3. n=M₄+2⇒ (2ⁿ+5)²⁰²⁰=(M₁₀+4+5)²⁰²⁰=(M₁₀+9)²⁰²⁰=M₁₀+9²⁰²⁰=M₁₀+M₁₀+1=M₁₀+1.

4. n=M₄+3 ⇒ (2ⁿ+5)²⁰²⁰=(M₁₀+8+5)=(M₁₀+13)=(M₁₀+3)²⁰²⁰=M₁₀+3²⁰²⁰=M₁₀+M₁₀+1=M₁₀+1.

deci (2ⁿ+5)²⁰²⁰=M₁₀+1, atunci (2ⁿ+5)²⁰²⁰=M₁₀+1-1=M₁₀+0, deci restul este 0.

( ultimele cifre ale numerelor 1²⁰²⁰,7²⁰²⁰,9²⁰²⁰,3²⁰²⁰ sunt 1 ).