Question

CLASE DE RESTURI MODULO N
Sa se rezolve ecuatia in Z7

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x^6 + \widehat{6}=\widehat{0} \Leftrightarrow x^6=-\widehat{6},~dar~-\widehat{6}=1~in~Z_7,~asadar~:~x^6=1, realizam~urmatorul~\\tabel~(vezi~in~atasament).\\asadar~conform~tabelului~x~poate~fi~:~1,2,3,4,5,6}.$

$\displaystyle\bf\\daca~nu~voiai~sa~folosesti~tabelul,~in~cazul~asta~puteai~folosi~\\mica~teorema~a~lui~fermat~care~spune~asa~:Daca~p~este~un~numar~prim\\si~a~un~numar~intreg~care~nu~este~\mathcal{M}_p~(multiplu~de~p),~atunci~:~\\a^{p-1} \equiv 1 (mod~p).\\in~cazul~nostru~p~era~7.$

Answer 2

Răspuns:

deci x∈{1;2;3;4;5;6}

Explicație pas cu pas:

incerc o rezolvare cu formulede calcul prescurtrat si ceva mai 'direct"

x^6+6= x^6-1=(x²-1) (x^4+x²+1)=0

x²=1...x=1....x=-1=6

x²(x²+1)=-1=6=2*3

posibil doar x²=2...prin incercvari succesive 0 , 1, 2 nu convin

3²=2  bun, deci x=3

4²=2, bun si asta

5²=4 nu e bun

6²=1 nu e bun

x²(x²+1)=-1=6=(-3) *(-2)

x²=-3=4

convin x=2, x=5

deci x∈{1;2;3;4;5;6}

verificare rapida pt 1 si 6 care la putreea a doau =1  (36=1 in Z7)

2^6=64=1

3^6=2^3=8=1

4^6=2^3=..

5^6=4^3=2^6...