Question

Coeficientul lui x^99 din dezvoltarea polinomului:
(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100). Sa imi si explicati cum ati ajuns la rezultat. Va rog. Multumesc.

Answer 1

Din relatiile lui Viete stim ca exista urmatoarea relatie intre solutiile unui polinom in x si coeficientii lui
$a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+a_{98}x_{98}+...a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0$ care are solutiile x1,x2,x3,...x100 atunci
$x1+x2+x3+...+x100=-\frac{a_{99}}{a_{100}}$
In cazul nostru, coeficientul $a_{100}=1$ din moment ce singurul termen $x^{100}$ este obtinut prin inmultirea tuturor valorilor de x
Solutiile x1,x2...x100 este evident ca sunt x1=1,x2=2,x3=3...x100=100
Atunci stim ca
$a_{99}=-(1+2+3+...+100)=-\frac{100*101}{2}=-5050$