Question

(combinari de n luate câte 3) + (combinari de n luate câte 2) = 15(n-1) soluția ecuației este??​

Answer 1

Răspuns:

n = 9

Explicație pas cu pas:

Formula pentru calculul combinărilor de n luate câte k este:

$C^{k}_{n} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Folosim formula, înlocuind pe k, după datele problemei:

$C^{3}_{n} +C^{2}_{n} =15(n-1)$

$\frac{n!}{3!(n-3)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=15(n-1)$

Numitorul comun este 3! · (n - 2)!

Prima fracție o amplificăm cu (n - 2), a doua fracție cu 3.

$\frac{(n-2)n!+3n!}{3!(n-2)!}=15(n-1)$

scoatem n! factor comun la numărător:

$\frac{n!(n+1)}{6(n-2)!}=15(n-1)$

simplificăm prin (n - 2)!

$\frac{n(n-1)(n+1)}{6}=15(n-1)$

$n(n+1)=90$

n² + n - 90 = 0

Δ = 1 + 360 = 361 = 19²

n₁ = (- 1 + 19) / 2 = 9

n₂ = (- 1 - 19) / 2 = - 10, < 0, soluție care nu ne convine

⇒ n = 9