Question

Consideram punctele A(5, 0), B(−2, 4) ¸si C(2, −2) in plan.
Sa se calculeze coordonatele ortocentrului.

Answer 1

Problema se rezolva in felul urmator:
------------------------------------
Ortocentrul este punctul unde se intalnesc toate inaltimile triunghiului.
Calculul coordonatelor ortocentrului se face astfel:Pasul 1) Se obtin ecuatiile dereptelor triunghiului, folosind o metoda de scriere a ecuatiei dreptei pentru cazul cand se cunosc 2 puncte prin care trece dreapta.Pasul 2 Pentru fiecare dreapta se calculeaza panta,
care este tg φ format de dreapta cu axa Ox luat in sens trigonometric de la axa la dreapta.
Pentru fiecare dreapta se va calcula panta unei drepte perpendiculare pe ea (inaltimea).

Apoi se scriu ecuatiile a doua inaltimi folosind formulele de scriere a ecuatiei unei drepte la care se cunoaste un punct prin care trece si panta dreptei   
E suficient sa scriem ecuatiile a doua inaltimi. 
Apoi scriem ecuatiile de intersectie a doua drepte pentru a afla coordonatele ortocentrului.
Cred ca ai recunoscut ca suntem pe terenul GEOMETRIEI ANALITICE.
E un calcul lung, greu, si cu mari sanse de a face greseli. 
Dar daca n-avem alta solutie, trebuie sa-l facem.

Avem sanse sa scapam mai ieftin, cautand alta solutie.
Sa vedem daca avem noroc

Calculam lungimea segmentelor:
AB = √{[5 - (-2)]² + (0 - 4)²} = √(7² + 4²) = √(49 + 16) = √65
BC = √{(-2 - 2)² + [4 - (-2)]²} = √[(-4)² + 6² ]= √(16 + 36) = √52
AC = √{(5 - 2)² + [0 - (-2)]²} = √(3³ + 2²) = √13

Avem laturile:
AB = √65
BC = √52
AC = √13
Latura AB are lungimea cea mai mare.
Verificam daca ΔABC este triunghi dreptunghic.
Verificam daca  BC² + AC² = AB²
√52² + √13² = √65²     <=>   52 + 13 = 65    <=>   65 = 65
=> ΔABC este triunghi dreptunghic cu <C = 90°  (Deoarece AB este ipotenuza)
La un triunghi dreptunghic, doua dintre inaltimi sunt chiar catetele.
=> ortocentrul este punctul C(2, -2)