Question

Consideram punctele A,B,C,D; fie M,N mijloacele segmentelor [AB], respectiv [CD]. Demonstrati ca daca MN=BC+AD/2,atunci punctele A,B,C,D sunt coplanare.
Repede va rog!

Answer 1

constructia consta in doua plane: (ABD) si (BDC), C∉(ABD), BD linie comuna
AM=MB
DN=NC
ducem MO║AD, MO∈(ABD) si NO║BC, NO∈(BDC)
MO este linie mijlocie in tr. ABD ⇔ MO=AD/2
NO este linie mijlocie in tr. BDC ⇔ NO=BC/2
din ipoteza avem MN=(BC+AD)/2=BC/2 + AD/2=NO+MO
observam ca in triunghiul MON avem relatia MN=NO+MO ceea ce inseamna ca {O}∈BD si {O}∈MN, O≡O',O'∈MN, M,O' si N sunt coliniare si MN∩BD={O'}
deci MN si DB sunt concurente in O' si coplanare ⇔ M,B,O',N,D sunt coplanare si fara sa mai intru indetalii rezulta ca A,B,C,D sunt coplanare