Question

Considerăm triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe latura AC, astfel încât AM=MN=NP=PC. Dacă A', M', N', P' sunt proiecțiile punctelor A, M, N, și, respectiv P pe dreapta BC, determinați valorile rapoartelor A'M'/M'N', P'C/P'N', A'N'/CN', M'N'/M'C, A'C/M'P'.​

Answer 1

AA'⊥BC

MM'⊥BC

NN'⊥BC

PP'⊥BC⇒ AA'║MM'║NN'║PP'

• Notam AM=MN=NP=PC=x

AC=4x

AN=2x

AP=3x

MC=3x

• Aplicam Teorema lui Thales in ΔACA'

$\frac{AM}{MC} =\frac{A'M'}{M'C'}$

$\frac{x}{3x} =\frac{A'M'}{M'C'}=k\\\\\frac{1}{3}=\frac{A'M'}{M'C'} =k$

A'M'=k

M'C'=3k

Daca A'M'=k⇒M'N'=N'P'=P'C'=k

Deci CN'=2k

M'P'=2k

A'C=4k

• Formam rapoartele cerute si obtinem:

$\frac{A'M'}{M'N'}=\frac{k}{k} =1\\\\\\\frac{P'C}{P'N'} =\frac{k}{k} =1\\\\\\\frac{A'N'}{CN'} =\frac{2k}{2k} =1\\\\\\\frac{M'N'}{M'C}=\frac{k}{3k} =\frac{1}{3} \\\\\\\frac{A'C}{M'P'} =\frac{4k}{2k} =2$