Cosmin a cumpărat o carte de informatică, ale cărei pagini au fost numerotate de un tipograf obosit într-un mod interesant : 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, … 415 paginile fiind numerotate la rând, fără a fi omisă vreuna. a) Poţi să-l ajuţi pe Cosmin să afle câte file are cartea fără a fi nevoit să le numeri una câte una? b) Să se afle al 45-lea număr eliminat din numerotarea paginilor cărţii. c) Cosmin deschide cartea la întâmplare. Este posibil ca suma numerelor înscrise pe cele două pagini să fie egală cu 444?
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, … 415
a) Lipsesc numerele 2,7,12,.... termeni ai unei progresii aritmetice cu primul termen a1=2 și rația r=5. Termenul general an=a1+(n-1)·r, deci an=2+(n-1)·5
Să aflăm ultimul termen din această progresie
an≤415, ⇒2+(n-1)·5≤415, ⇒ (n-1)·5≤415-2, ⇒ (n-1)·5≤413, ⇒n-1≤413/5, ⇒
n-1≤82,6, ⇒ n≤83.6. Deoarece n∈N, ⇒ progresia are 83 termeni, adică în numerotarea cărții lipsesc 83 de numere. Atunci, cartea are 415-83=332 pagini.
b) al 45-lea număr eliminat din numerotarea paginilor cărţii este 2+(45-1)·5=2+44·5=222.
c) Evident că suma numerelor folosite la paginarea corectă a cărții sunt două numere naturale consecutive, deci suma este număr impar. Deoarece 444 este par, rezultă că Cosmin vede două pagini cu numere de aceeași paritate. Fie p este numărul unei pagină și p+2 numărul de pe cealaltă pagină. Atunci p+p+2=444, ⇒2p+2=444, ⇒2p=442, ⇒p=221, iar următoarea este 223. Deci, e posibil.