Question

Criteriul clestelui. Sa se calculeze limitele sirurilor definite prin termenul general. ​

Answer 1

Salut,

Una dintre proprietățile părții întregi [x] este că:

x -- 1 < [x] ≤ x.

Scriem acestă dubă inegalitate pentru toți termenii de la numărătorul lui xₙ.

x -- 1 < [x] ≤ x

2x -- 1 < [2x] ≤ 2x

3x -- 1 < [3x] ≤ 3x

...

nx -- 1 < [nx] ≤ nx

Dacă adunăm membru cu membru cele n duble-ingalități de mai sus avem că:

x -- 1 + 2x -- 1 + 3x -- 1 + ...  + nx -- 1 < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ x + 2x + 3x + ... + nx (1).

În primul membru acel --1 apare de atâtea ori câți termeni are numărătorul lui xₙ, deci apare de n ori, suma lor este (--1)·n = --2.

Relația (1) devine:

(1 + 2 + 3 + ... + n)·x -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ (1 + 2 + 3 + ... + n)·x ⇔

⇔ n·(n + 1)·x/2 -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ n·(n + 1)·x/2 ⇔

⇔ n²·x/2 + n·x/2 -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ n²·x/2 + n·x/2

Dacă împărțim cu n² această dublă inegalitate, avem că:

$\dfrac{x}2+\dfrac{x}{2n}-\dfrac{1}n<\dfrac{[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]}{n^2}\leqslant \dfrac{x}2+\dfrac{x}{2n}.$.

La mijloc avem chiar pe xₙ, dacă trecem la limită când n tinde la +∞, avem că:

$\dfrac{x}2+0-0<\lim\limits_{x\to+\infty}x_n\leqslant \dfrac{x}2+0.$

Cu criteriul cleștelui se vede clar că limita lui xₙ este x/2, unde x este un număr real oarecare.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.