Question

ctg1+ctg3+...+ctg 177+ctg179=?

Answer 1

Vedem cat face suma dintre primul termen si ultimul termen
$ctg1+ctg179=\frac{\cos 1}{\sin 1}+\frac{\cos 179}{\sin 179}=\frac{\sin 1*\cos 179+\sin 179*\cos 1}{\sin 1*\sin 179}=\frac{\sin(179+1)}{\sin 1*\sin 179}=\frac{\sin180}{sin 1*\sin 179}=0$ pentru ca stim ca $\sin \pi=0$ si unde am folosit formula
$\sin{a+b}=\sin{a}*\cos{b}+\sin{b}*\cos{a}$
Acum poti sa observi ca grupezi perechi de doua cate doua ctg a caror suma va da 0: ctg3,ctg177; ctg5;ctg175.....ctg79;ctg101
Numarul de perechi este exact pentru ca sunt in total N=(179+1)/2 in sir, adica 90 de perechi. Deci suma da la final 0.