Question

Cu cat este divizibil numarul 111111111111 si cu cat nu este divizibil
Cu cat este divizibil numarul 987654 si cu cat nu este divizibil.

Determinarti cel mai mic numar natural care are suma cifrelor 2013. 

Aratati ca ultima cifra a produsului x(x+1) poate fi doar 0.2 sau 6, pt orice numar natural x. 
Demonstrati ca nu exista numere nat x astefel incat: 5x+1024=abcd7 
Demonstrati ca nu exista numere nat x astel incat 7x la 2 +7x+5y=2013

Answer 1

1)
Descompunem numarul  111.111.111.111  in factori primi:

111.111.111.111 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901
Numarul 111.111.111.111 se divide cu factorii primi din lista de mai sus si cu produse intre doi sau mai multi factori primi din lista.
Numarul nu se divide cu oricare numar prim care nu e in lista si este mai mare ca 1.

2)
Numarul 987654 se divide cu 3 si nu se divide cu 9

3)
2013 / 9 = 223 rest 6
Numarul este: 6 urmat  de 223 de nouri = 6999999999........9999999999999
                                                               \_________ de 223 de ori____/
 
 4)
 x*(x+1) = Uc
0 * 1 = 0
1 * 2 = 2
2 * 3 = 6
3 * 4 = 2
4 * 5 = 0
5 * 6 = 0
6 * 7 = 2
7 * 8 = 6
8 * 9 = 2
9 * 0 = 0
cctd

5)
5x + 2014 = abcd7
U(5x) = 0 sau 5
0 + 4 = 4 ≠ 7
5 + 4 = 9 ≠ 7
cctd

6)
7x² + 7x + 5y = 2013

7*x*(x+1) + 5y = 2014

U(x*(x+1)) = 0 sau 2 sau 6 
 U(7*x*(x+1)) = 0 sau 4 sau 2

U(5y) = 0 sau 5
 
 0 sau 4 sau 2  + 0 sau 5   ≠ 3  unde 3 este  U(2013)