Matematică, întrebare adresată de vladeanuvlad, 8 ani în urmă

Cu cât este egal: x la puterea 2x ,totul derivat?

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de GreenEyes71

Salut,

$Fie\ f(x)=x^{2x}.\ Logaritm\breve{a}m\ cu\ baza\ natural\breve{a}\ e:\\\\ln(f(x))=ln(x^{2x})\Leftrightarrow ln(f(x))=2x\cdot lnx.\ Deriv\breve{a}m\ rela\c{t}ia:\\\\\dfrac{f'(x)}{f(x)}=2\cdot lnx+2x\cdot\dfrac{1}x\Leftrightarrow\dfrac{f'(x)}{f(x)}=2\cdot lnx+2,\ deci\\\\f'(x)=2\cdot(lnx+1)\cdot x^{2x}.$

Green eyes.

Chris02Junior: Se poate logaritma NUMAI in cazul x > 0, dar pt x = 0 si x < 0 cum este? Nespecificandu-se domeniul de definitie pt f(x), atunci se considera ca fiinde domeniul maxim, adica tot R-ul, de unde este necesara o explicitare pe cazuri.

Rayzen: functia x^(2x) e continua doar pentru x >= 0, deci e derivabila doar pentru x >= 0.
Cand x < 0 functia x^(2x) nu este continua deoarece 2x nu poate lua valori ca -1/2, -1/4, etc.
Fiindca (-1/4)^(-1/2) = 1/(sqrt(-1/4)) si nu are sens.

Rayzen: e continua si derivabila doar pentru x > 0 pardon.

Răspuns de Chris02Junior

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Fie f(x) = x > 0 si g(x) = 2x

Pt x = 0 avem 0^0, deci nedeterminare si pt x < 0 , (f(x)^g(x))´ nu avem o functie derivabila pe tot domeniul, ci numai punctual(functia nu este continua).

Avem formula pentru derivare a lui f^g(vezi poza), altfel, daca nu o stii, o deduci, asa cum f bine a aratat colega mea in solutia ei.

Anexe: