Question

Cubul din figura alaturata are AB=a. Exprimati lungimea proiectiei segmentului EF pe fiecare dintre planele:
a) (ABF);
b) (ACG);
c) (ADH);
d) (AFH)

Answer 1

proiecția unei muchii a cubului pe diverse plane, determinate de vârfurile cubului

• proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă
• proiecția unui segment pe o dreaptă este mulțimea formată din proiecțiile tuturor punctelor pe acea dreaptă

a) latura cubului: AB = a

$EF \subset (ABEF) \Rightarrow EF \subset (ABF)$

$pr_{(ABF)}(E) = E, \ pr_{(ABF)}(F) = F$

$\implies \boxed{ pr_{(ACG)}(EF) = EF}$

• proiecția unui segment pe un plan, când segmentul este inclus în plan, este segmentul însuși

$EF = AB \implies \bf EF = a$

b)

notăm FH ∩ EG = {O}

EFGH este pătrat, iar diagonalele în pătrat sunt perpendiculare ⇒ FO⊥EG ⇒ $pr_{(ACG)}(F) = O$

$E \in (ACGE) \Rightarrow E \in (ACG) \Rightarrow pr_{(ACG)}(E) = E$

$\implies \boxed {pr_{(ACG)}(EF) = EO}$

• proiecția unui segment pe un plan (când segmentul care se proiectează nu este perpendicular pe plan) este un segment

$EG^{2} = EF^{2} + FG^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2} \Rightarrow EG = a\sqrt{2}$

$EO = \dfrac{EG}{2} \implies \bf EO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

c)

$EF \perp EH, \ EF \perp AE, \ AE \subset (ADH), \ EH \subset (ADH) \Rightarrow EF \perp (ADH)$

$pr_{(ADH)}(E) = E, \ pr_{(ADH)}(F) = E \Rightarrow pr_{(ADH)}(EF) = E$

$\implies \boxed{ pr_{(ADH)}(EF) = E}$

• proiecția unui segment perpendicular pe un plan este un punct, reprezentat de intersecția segmentului cu planul (punctul comun)

⇒ lungimea proiecției segmentului EF pe planul (ADH) este 0

d)

AH = AF = FH ⇒ ΔAHF este echilateral, AO⊥FH

notăm EM⊥AO, M∈AO

$pr_{(AHF)}(E) = M, \ F \in (AHF)\Rightarrow \ pr_{(AHF)}(F) = F$

$\implies \boxed{pr_{(AHF)}(EF) = FM}$

în ΔAFH:

$AO = \dfrac{FH\sqrt{3} }{2} = \dfrac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} }{2} \implies AO = \dfrac{a\sqrt{6} }{2}$

Teorema catetei în ΔAEO:

$EO^{2} = MO \cdot AO \Leftrightarrow \dfrac{a^{2} }{2} =MO \cdot \dfrac{a\sqrt{6} }{2} \Rightarrow MO = \dfrac{a\sqrt{6} }{6}$

$EO = FO = \dfrac{a\sqrt{2} }{2} \ \ si \ \ AF = EG = a\sqrt{2}$

T.Pitagora în ΔFMO:

$FM^{2} = FO^{2} + MO^{2} = \dfrac{a^{2}}{2} + \dfrac{a^{2}}{6} = \dfrac{2a^{2}}{3}$

$\implies \bf FM = \dfrac{a\sqrt{6} }{3}$