Question

Culegere de probleme pentru admitere UPT, problema AL7, va rog :)

Answer 1

Termenul general al progresiei este de forma: $a_n=a_1\cdot 2013^{n-1}, n \geq 1$. Luam termenul general al sumei S si il rescriem astfel:
$\frac{a_k + a_{k+1}}{a_{k+1} + a_{k+1}}=\frac{a_12013^{k-1}+a_12013^k}{a_12013^k + a_12013^{k+1}}=\frac{a_12013^{k-1}(1+2013)}{a_12013^{k-1}(2013+2013^2)}$
Putem simplifica raportul prin termenul dat factor comun, intrucat este diferit de zero. Obtinem:
$\frac{a_k + a_{k+1}}{a_{k+1} + a_{k+1}}=\frac{1+2013}{2013(1+2013)}=\frac{1}{2013}$
Deci toti termenii sumei sunt egali cu $\frac{1}{2013}$, iar cum suma are 2013 termeni, va rezulta ca S=1.