Cum aflam laturile unui triunghi isoscel, daca cunoastem r=1,5cm si R=3,125 cm?
albatran:
de gandit, nu am facut-o inca...daca are soltie este isoscel sigur, pt ca la echilateral ar fi alta proportia
exista o multime de tr. isoscele inscrise intr-un cerc de raza data R
e o gandire ok
ne maiu gandim si maine...trec pe pauza
nu ne mai gandim ca ne-au luat-o altii inainte.
bv. lor!!!!!!!!!
tears stream down our faces!
super tari ..nu ajunsesem pana acoilo...hai sa o salvez o invat dupa
la arie cu r si R m-am gandit dar am dat de niste ecuatii cam incalcite si m-am enervat
eu am inceput cu rezolvarea lui Costin, ca sa intrupe tr dr..dar nu am dus-o la capat...acum o parcurg pe a lui...adica notand precum Costin, ecuatiile sunt mai putin incalcite
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
Desenez triunghiul isoscel ABC și notez AB = AC = x, BC = 2y.
Duc înălțimea AD, care este și mediană ⇒ BD = DC = y.
Cu T. Pitagora ⇒ AD = √(x² - y²) = √(x-y)(x+y)
Dacă S este suprafața triunghiului, atunci:
2S = BC · AD ⇒ 2S = 2y√(x-y)(x+y) (1)
Dar, 2S = 2·p·r =2(x+y)·1,5 ⇒ 2S = 3(x + y) (2)
(1),(2) ⇒ x+y= (4/9)y²(x - y) (3)
Știm că S = (abc)/4R, care transpus în cazul triunghiului dat, devine :
S = (2x²y)/4R ⇒ S/2 = (2x²y)/8R ⇒ S/2 = (2x²y)/8·3,125 ⇒
⇒S = (4x²y)/25 (4)
(1), (4) ⇒ 4x² = 25√(x-y)(x+y) (5)
(3), (5) ⇒ 6x² - 25xy + 25y² = 0 |:y² ⇒ 6(x/y)² -25(x/y)+25=0
Notez x/y=t și ecuația devine: 6t² - 25t +25 = 0
După rezolvare obțin t = 5/3 și t = 5/2.
Revin asupra notației și rezultă :
x/y= 5/3 ⇒ x = 5y/3 (6)
x/y = 5/2 ⇒ x = 5y/2 (7)
(3), (6) ⇒ y = 3, x = 5, adică AB=AC=5cm, BC = 2·3 =6 cm
(3), (7) ⇒ y = (√21)/2, x = (5√21)/4, adică :
AB = AC = (5√21)/4cm, BC = 2y = √21cm
..
Duc înălțimea AD, care este și mediană ⇒ BD = DC = y.
Cu T. Pitagora ⇒ AD = √(x² - y²) = √(x-y)(x+y)
Dacă S este suprafața triunghiului, atunci:
2S = BC · AD ⇒ 2S = 2y√(x-y)(x+y) (1)
Dar, 2S = 2·p·r =2(x+y)·1,5 ⇒ 2S = 3(x + y) (2)
(1),(2) ⇒ x+y= (4/9)y²(x - y) (3)
Știm că S = (abc)/4R, care transpus în cazul triunghiului dat, devine :
S = (2x²y)/4R ⇒ S/2 = (2x²y)/8R ⇒ S/2 = (2x²y)/8·3,125 ⇒
⇒S = (4x²y)/25 (4)
(1), (4) ⇒ 4x² = 25√(x-y)(x+y) (5)
(3), (5) ⇒ 6x² - 25xy + 25y² = 0 |:y² ⇒ 6(x/y)² -25(x/y)+25=0
Notez x/y=t și ecuația devine: 6t² - 25t +25 = 0
După rezolvare obțin t = 5/3 și t = 5/2.
Revin asupra notației și rezultă :
x/y= 5/3 ⇒ x = 5y/3 (6)
x/y = 5/2 ⇒ x = 5y/2 (7)
(3), (6) ⇒ y = 3, x = 5, adică AB=AC=5cm, BC = 2·3 =6 cm
(3), (7) ⇒ y = (√21)/2, x = (5√21)/4, adică :
AB = AC = (5√21)/4cm, BC = 2y = √21cm
..
ââ
\\
calculul se simplifică mult ...
voi folosi LaTeX
\it Fie\ \ \dfrac{x}{y} = t \Longrightarrow x = ty
\\\;\\
AD = \sqrt{x^2-y^2} = \sqrt{(x-y)(x+y)} ] = \sqrt{(ty-y)(ty+y)} \Longrightarrow
\\\;\\
\Longrightarrow AD = y\sqrt{(t-1)(t+1)}
\\\;\\
2S = BC\cdot AD = 2y^2\sqrt{(t-1)(t+1)} \ \ \ \ (1)
\\\;\\
AD = \sqrt{x^2-y^2} = \sqrt{(x-y)(x+y)} ] = \sqrt{(ty-y)(ty+y)} \Longrightarrow
\\\;\\
\Longrightarrow AD = y\sqrt{(t-1)(t+1)}
\\\;\\
2S = BC\cdot AD = 2y^2\sqrt{(t-1)(t+1)} \ \ \ \ (1)
\\\;\\
2S = 2\cdot p\cdot r = 2\cdot(x+y) \cdot1,5 = 3(ty+y) =3y(t+1)\ \ \ (2)
\\\;\\
(1), (2) \Rightarrow 3y(t+1) = 2y^2\sqrt{(t-1)(t+1)}|:_{y} \Rightarrow
\\\;\\
\Rightarrow 3(t+1) = 2y\sqrt{(t-1)(t+1)} \Rightarrow 9(t+1)^2 = 4y^2(t-1)(t+1)
\\\;\\
\it \Rightarrow 9(t+1)=4y^2(t-1) \Rightarrow t+1= \dfrac{4y^2(t-1)}{9}\ \ \ (3)
2S = 2\cdot p\cdot r = 2\cdot(x+y) \cdot1,5 = 3(ty+y) =3y(t+1)\ \ \ (2)
\\\;\\
(1), (2) \Rightarrow 3y(t+1) = 2y^2\sqrt{(t-1)(t+1)}|:_{y} \Rightarrow
\\\;\\
\Rightarrow 3(t+1) = 2y\sqrt{(t-1)(t+1)} \Rightarrow 9(t+1)^2 = 4y^2(t-1)(t+1)
\\\;\\
\it \Rightarrow 9(t+1)=4y^2(t-1) \Rightarrow t+1= \dfrac{4y^2(t-1)}{9}\ \ \ (3)
Da, desigur !!!
..
Ideea e să folosim aria triunghiului,
pentru că aria se poate exprima funcție de r și R.
..
Ideea e să folosim aria triunghiului,
pentru că aria se poate exprima funcție de r și R.
..
Pentru R se poate folosi și T. sinusurilor
ya, of course !
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Istorie,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă