Question

Cum aflu inaltimea in paralelogram ? Pentru punctul C) la Arie ?​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ABCD paralelogram, AB=16cm, AD=6cm.

a) Perimetrul, P(ABCD)=2·(AB+AD)=2·(16+6)=2·22=44cm.

b) M - mijlocul [AB], deci AM=BM=8cm;  N - mijlocul [CD], deci CN=DN=8cm;  ME=NF=6cm, EF⊥MN. Fie EF∩MN={O}.

Cercetăm ΔMEO și NFO (dreptunghice în O), în care ME=NF (ipotenuze) și ∡MEO=∡NFO (alterne interne la dreptele paralele AB și CD cu secanta EF). După crit. IU (ipotenuză, unghi ascuțit), ⇒ΔMEO ≡ NFO. Atunci, ⇒EO=FO, deci O este mijlocul segmentului EF. La fel, O - mijlocul [MN].

Deoarece MN⊥EF și MN trece prin mijlocul segmentului EF, ⇒

MN este mediatoarea segmentului EF.

c) Aria(ABCD)=???

Aria(ABCD)=Latura·Înălțime.  Nu cunoaștem Înălțimea.

AMND paralelogram, ⇒AD║MN. Trasăm DH⊥MN, H∈MN, ⇒DH⊥AD. Fie DH∩BC=K, K∈(BC). Atunci, DK⊥AD, DK⊥BC, deci, DK este înălțime a paralelogramului ABCD.

Fie, DK∩AB=G. DK║MN, EF⊥MN, ⇒DK║EF. ⇒DFEG este paralelogram și EF=DG.

În ΔNOF, NO=(1/2)·MN=(1/2)·AD=(1/2)·6=3. După T.Pitagora, ⇒OF²=NF²-NO²=6²-3²=36-9=27=9·3, deci OF=3√3cm=OE. Deci EF=2·3√3=6√3cm=DG.

DF=DN-NF=8-6=2cm=EG=BE. Deci GB=4cm=MG.

MN║AD, după T.Thales, ⇒GM/MA=GH/HD, ⇒4/8=GH/HD, ⇒1/2=GH/HD, ⇒1/(1+2)=GH/(GH+HD), ⇒1/3=GH/GD, ⇒1/3=GH/6√3, ⇒3·GH=1·6√3, ⇒GH=2√3cm.

În ΔMGH și ΔBGK (dreptunghice), avem: MG=BG și ∡G=∡G (opuse la vârf), după crit. IU (ipotenuză, unghi ascuțit), ⇒ΔMGH ≡ ΔBGK, ⇒GH=GK=2√3

Atunci, DK=DG+GK=6√3+2√3=8√3.

Atunci, Aria(ABCD)=AD·DK=6·8√3=48√3cm².

Answer 2

$\it \left.\begin{aligned}NFME -paralelogram\\ \\ EF\perp MN \end{aligned} \right\} \Rightarrow NFME\ -\ romb \Rightarrow FM=NF=6\ cm\ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ \ MN=AD=6\ cm\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow\ \Delta MNF\ -\ echilateral \Rightarrow m(\widehat{MNF})=60^o\\ \\ AMND-paralelogram \Rightarrow \hat A=\hat N=60^o\\ \\ \\ \mathcal{A}_{ABCD}=AD\cdot AB\cdot sin A=6\cdot16\cdot sin60^o=6\cdot16\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\cdot8\sqrt3=48\sqrt3\ cm^2$