Question

Cum aflu sin x cunoscand cos x ? Explicati-mi de unde iau acele valori numerice dupa ce aplic formula!!

Answer 1

[tex]\it \cos x = \dfrac{1}{3} \ \ \ \ \ (1) \\\;\\ \\\;\\ \sin^2 x+\cos^2 x = 1 \Rightarrow sin^2 x=1-cos^2x \Rightarrow sin^2 x=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow sin^2x = 1- \dfrac{1}{9} \Rightarrow sin^2x = \dfrac{8}{9} \Rightarrow \sqrt{sin^2x}\ = \sqrt{\dfrac{8}{9}} \Rightarrow |sinx| = \dfrac{2\sqrt2}{3}\ \ \ \ (1)[/tex]


$\it x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right) \Longrightarrow sin x\ \textgreater \ 0\ \ \ \ (2) \\\;\\ \\\;\\ (1), (2) \Longrightarrow sinx = \dfrac{2\sqrt2}{3}$


$\it tg x = \dfrac{sin x}{cos x} = \dfrac{\dfrac{2\sqrt2}{3}}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2\sqrt2}{3}:\dfrac{1}{3} =\dfrac{2\sqrt2}{3} \cdot\dfrac{3}{1} = 2\sqrt2$


$\it ctgx = \dfrac{1}{tgx} = \dfrac{^{\sqrt2)}1}{\ 2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{4}$

Answer 2

Unghiul se afla in cadranul I, unde toate functiile trigonometrice sunt pozitive
( cateta opusa cea de pe Oy, cateta alaturata, cea de pe Ox sunt pozitve, iar ipotenuza este INTOTDEAUNA pozitiva, independent de cadran, deci toate rapoartele din definirea functiilor trigononmetrice sunt pozitive;
trebuie tinut contde acesat atunci cand rezolvam ecuatii cu patrate, care ne dau aat soltii pozitive cat si negative

cosx=1/3
aplicam formula findamentala a trigonometriei (Teorema lui Pitagora aplicat in trigonometrie)

sin²x+cos²x=1
sin²x=1-cos²x
sin²x=1-1/9=8/9
sinx=+/-√(8/9)=+/-2√2/3
avand in vedere ca x∈(0;π/2) ,luam valoarea pozitiva,deci sin x=2√2/3

cand avem sinx si cosx determinate, atunci  tg x si ctgx se pot afla imediat (exercitiul e de initiere si trebuie rezolvat in ordinea cerintelor)

tgx=sinx/cosx=(2√2/3);(1/3)=2√2=
ctgx=1/tgx=1/2√2=√2/4
 as simple as that


Varianta 2, foarte usor de aplicat atunci cand x∈(0;π/2), adica unghiul este ascutit; e clasica, precum la gimnaziu
 constrium un tr. dr.  cu o cateta de 1 si ipotenuza de 3.El este asemenea cu ORICE triunghi dreptunghic cu cu o cateta k si ipotenuza 3k, incluisiv cu triunghiul de pe cercul trigonometric .
 Triunghiul construit poate fi asezat pe un cerc concentric cu cel trigonometric, ce va avea raza vectoare 3 si proiectia ei pe axa Ox egala cu 1
Atunci cealalta cateta, proiectia razei de 3 pe axa Oy va fi√(3²-1²)=√8=2√2
se pot calcula imediat valorile functiilor trigonometrice cerute; vezi desen anexat

Varianta 2 este aplicabila pt orice cadran, dar in cadranele II-IV trebuie sa tii cont de semiaxele  cu valori negative ale axelor de coordonate carteziene.