Question

Cum aflu ultima cifra a numarului 5 la puterea 2013 si a numarului 3 la puterea 2013 ? Urgent plsss

Answer 1

ultima cifra a lui 5 la orice putere este 5

$3^{1}=3$

$3^{2} =9$

$3^{3}=27$⇒ ultima cifra 7

$3^{4} =81$⇒ultima cifra 1

cifrele se repeta din 4 in 4

2013:4=503 rest 1⇒ultima cifra a lui$3^{2013}$ este ultima cifra a lui $3^{1}$ adica 3

Answer 2

Ideea este sa calculezi cateva dintre puterile celor doua numere si vezi ca ultima cifra a numerelor obtinute apare cu o anumita periodicitate:

Notam cu u(N) ultima cifra a numarului N

5^1=5,5^2=25,5^3=125,..............
u(5^1)=5, u(5^2)=5,u(5^3)=5 .........
Observam ca orice putere a numarului 5 are ultima cifra 5.

3^1=3                      3^5=243
3^2=9                      3^6=729 
3^3=27                    3^7=2187
3^4=81                    3^8=6561

Putem generaliza si afirma ca 
[tex] u(3^{4k+1})=3\\ u(3^{4k+2})=9\\ u(3^{4k+3})=7\\ u(3^{4k})~~~=1[/tex]
Cu alte cuvinte ultima cifra a lui 3 la o putere se repeta din 4 in 4: 
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 0 ultima cifra este 1
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 1 ultima cifra este 3
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 2 ultima cifra este 9
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 3 ultima cifra este 7

Nu ne ramne sa aplicam regula de mai sus si sa impartim 2013 la 4. Cum restul impartirii numarului 2013 la 4 este 1, rezulta ca 

$u(3^{2013})=3$