Question

cum aflu x din: x^5=A
unde A=$\left[\begin{array}{ccc}2&2\\1&1\end{array}\right]$

Answer 1

$X^5=A$
Aplicăm determinantul: $det\left(X\right)^5=det(A)=0\Rightarrow det(X)=0$
Fie $X=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$
Din relația lui Cayley-Hamilton avem
$X^2-(a+d)X+det(X)\cdot I_2=O_2$
Rezultă $X^2=(a+d)X$
Fie $a+d=u\Rightarrow X^5=u^4X=A\Rightarrow X=\frac{1}{u^4}A$
Avem $A^2=3A\Rightarrow A^5=81A$
$X^5=\frac{1}{u^{20}}A^5=\frac{81}{u^{20}}A=A\Rightarrow u^{20}=81\Rightarrow u=\sqrt[5]{3}$
Atunci $X=\frac{1}{\sqrt[5]{81}}A$