Question

cum calculam logaritmii?

Answer 1

Def: Fie a>0 un numar real pozitiv, . Consideram ecuatia exponentiala   ecuatia exponentiala are o solutie unic determinata, iar aceasta solutie se  noteaza  numit logaritmul numarului pozitiv N in baza a.

Din cele doua relatii obtinem 

adica algoritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata  baza „a”  pentru a obtine numarul dat

Exemplu:

a). Sa se calculeze  

Stim ca , iar din definitia logaritmului avem ca , trebuie sa ne obisnuim ca ce numar care are baza 5 la o anumita putere ne da 125.

b). Sa se calculeze  . Astfel consideram ecuatia exponentiala 

Adica ne gandim ca numarul  la ce putere obtinem 27 si astfel am obtinut o ecuatie exponentiala.

Cu ajutorul inversului unei functii stim ca  si astfel am obtinut aceeasi baza a ecuatiei exponentiale deci 

Iar daca facem proba obtinem 

Obs: Logaritmii in baza zece se mai numesc si logaritmi zecimali si se noteaza , adica daca avem , putem sa scriem 

Logaritmii naturali ai numarului  a se noteaza , iar baza acestui numar este numarul irational  „e” 

Ca sa putem sa efectuam operatii cu logaritmi trebuie sa stim proprietatile  logaritmilor:

1). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci:

Adica logaritmul produsului a doua numere pozitive este egal cu suma logaritmilor celor doua numere.

2). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci 

Adica logaritmul catului a doua numere  este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul numitorului.

3). Daca A este un numar pozitiv si ”m” un numar real arbitrar ales atunci:

Adica logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponetul puterii si logaritmul numarului.

Exemplu:
Sa se calculeze:

a) 

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit prima regula de mai sus, adica  suma algoritmului a  doua  numere este egala cu produsul logaritmului celor doua numere  (am folosit partea a doua a regulii ), iar apoi definitia logaritmului, adica 2 la ce putere obtinem 4.

b) 

Adica 

Sau putem sa mai scriem 

Adica trebuie sa ne gandim ce  si astfel obtinem 

Deci, important la logaritmi, este sa intelegem definitia acestora dar si proprietatile  care ne ajuta sa rezolvam exercitiile care contin logaritmi.