Question

Cum calculez ecuatia: sin7x = sin5x ?

Answer 1

$sin7x=sin5x \Rightarrow \\\\sin(6x+x)=sin(6x-x)$

Aplicăm formulele:

$\boxed {sin(a+b)=sina \cdot cosb+sinb \cdot cosa}$

și

$\boxed {sin(a-b)=sina \cdot cosb-sinb \cdot cosa}$

Rezultă că:

$sin6x \cdot cosx+sinx \cdot cos6x=sin6x \cdot cosx-sinx \cdot cos6x$

Observăm că atât în membrul stâng, cât și în membrul drept, primul termen este același, deci îl scădem și din stânga și din dreapta, ca să nu ne mai încurce, și ne rămâne:

$sinx \cdot cos6x=-sinx \cdot cos6x$

Trecem totul în membrul stâng:

$2sinx \cdot cos6x=0\big /:2\\\\sinx \cdot cos6x=0$

Știm că un produs a doi factori este 0 când unul dintre factori este 0, așa că luăm separat fiecare factor și îl egalăm cu 0. 

$sinx=0$

Acestă ecuație are loc când x este un multiplu întreg de $\pi$, deci:

$x=k \pi, ~unde~k \in \mathbb Z$

A doua soluție e dată de:

$cos6x=0$

Funcția cosinus este egală cu 0, când argumentul ei este de forma $\dfrac{\pi}{2} +k\pi,~unde~k \in \mathbb Z$.

Poți verifica asta dându-i lui k valori.

Pentru k=0, $cos(\frac{\pi}{2} +k\pi)=cos(\frac{\pi}{2})=0$

Pentru k=1, $cos(\frac{\pi}{2} +k\pi)=cos(\frac{\pi}{2}+\pi)=cos(\frac{3\pi}{2})=0$.

Și așa mai departe...

Deci am stabilit că argumentul funcției cosinus are forma $\dfrac{\pi}{2} +k\pi$.

În cazul nostru, argumentul este 6x, care trebuie să fie de forma stabilită anterior.

Deci:

$6x=\dfrac{\pi}{2} +k\pi \Rightarrow 6x= \dfrac{\pi+2k\pi}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\pi+2k\pi}{12} \Rightarrow x= \dfrac{(2k+1)\pi}{12}$

În concluzie, soluțiile ecuației inițiale sunt:

$x=k \pi, ~unde~k \in \mathbb Z$

și

$x= \dfrac{(2k+1)\pi}{12}, ~unde~k \in \mathbb Z$

Poți verifica dându-i lui k valori și înlocuind în ecuația inițială.