cum demonstram ca 3 puncte sunt coliniare ? + UN EXEMPLU DE EXERCITIU
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Condiții de coliniaritate
a) obținem coliniaritatea punctelor A,B și C dacă (de exemplu) are loc relația:
m(∠ABP2)+m(∠P2BC)=180∘
sau
m(∠ABP1)+m(∠P1BP2)+m(∠P2BP3)+m(∠P3BC)=180∘.
De asemenea putem obține coliniaritatea punctelor A,B și C dacă (vezi b) are loc relația:
m(∠MAB)−m(∠MAC)=0∘
sau
m(∠PAB)−m(∠PAC)=0∘.
3) Dacă două unghiuri au doar vârf comun, sunt congruente și cu două dintre laturi în prelungire (acestea completând dreapta d), iar interioarele lor sunt de o parte și de alta a dreptei d, atunci și celelalte două laturi sunt una în prelungirea celeilalte (reprezentarea c).
B∈PQ, iar A și C sunt în semiplane diferite (semiplane determinate de dreapta PQ) astfel încât m(∠PBA)=m(∠QCA) (Teorema reciprocă teoremei unghiurilor opuse la vârf).
4) Printr-un punct exterior unei drepte se poate construi o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată (reprezentarea d).
Dacă A∉d iar AB∥d și AC∥d ⇒AB=AC, adică A,B,C sunt coliniare.
5) Printr-un punct oarecare din plan se poate construi o singură perpendiculară pe o dreaptă dată (acel punct poate să fie exterior dreptei sau se poate afla pe dreaptă)
A,C∉d, B∈d astfel încât AB⊥d și AC⊥d
(reprezentarea e) ⇒AB=AC, adică A,B,C coliniare.
6) Punctele A,B și C sunt coliniare dacă și numai dacă are loc oricare dintre relațiile: AB=AC+CB (reprezentarea f) sau AC=AB+BC sau BC=BA+AC.
7) În timp se vor utiliza și alte modalități de a demonstra coliniaritatea, de exemplu cea oferită de teorema lui Menelaus (mai exact, reciproca acesteia).
Este bine să reținem câteva coliniarități remarcabile.
Într-un triunghi ABC, avem:
Centrul cercului circumscris O, centrul de greutate G și ortocentrul triunghiului H sunt coliniare (se află pe dreapta lui Euler).
Punctul lui Nagel N, centrul de greutate G și centrul cercului înscris I sunt coliniare (se află pe dreapta lui Nagel).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Se consideră punctele A,O,B coliniare, în această ordine. Semidreptele [OC și [OD sunt de aceeași parte a dreptei AB, astfel încât (OC⊂Int(∠AOD). Semidreptele [OE și [OF sunt de cealaltă parte a dreptei AB, astfel încât E∈Int∠EOF, ∠BOE≡∠COD și ∠EOP≡∠AOC.
a) Demonstrați că punctele D,O și F sunt coliniare.
b) Demonstrați că punctele C,O și E sunt coliniare dacă și numai dacă (OC este bisectoarea lui ∠AOD.
REZOLVARE --->
Dacă A,O și B sunt coliniare, atunci m(∠AOB)=180∘.
a) Dar m(∠AOI)+(COD)n=m(∠EOI)+(EOB)n și având în vedere congruențele date obținem că m(∠DOB)=m(∠FOA), care sunt astfel unghiuri opuse la vârf, ceea ce implică faptul că [CD și [OF sunt semidrepte opuse. Deci punctele D, O și F sunt coliniare.
b) Dacă [OC este bisectoarea unghiului ∠AOD, avem m(∠AOC)=m(∠COD) și cum m(∠BOE)=m(∠COD) deducem că m(∠BOE)=m(∠AOC) și de aici obținem coliniaritatea punctelor C,O și E.
Iar dacă C,O și E sunt coliniare atunci ∠EOF≡∠AOC (conform tranzitivității relației de congruență) obținem ∠COD≡∠AOC, deci [OC este bisectoarea unghiului ∠AOD.
Spor <#