Question

Cum demonstrez ca n^3 + 5n e divizibil cu 6

Answer 1

Prin  inductie.
n=1
P1 1+5=6divizibil  cu   6,
Presyupui Pn adevarata.Verifici  daca   Pn+1   adevarata
Pn= n³+5n :6
P(n+1)=(n+1)³+5(n+1):6
n³+3n²+3n+1+5n+5:6
(n³+5n)+(3n²+3n+6):6
Prima   paranteza   e   divizibila  cu   6  ,   conf.Pn
A   doua paranteza  es   mai   scrie
3n²+3n+6=3(n²+n+2) evident   divizibil  la   3
n²+n+2=[n(n+1)+2]
n(n+1)   este   un   produs   de   2   numere   consective   din   care   unul  e   sigur   par n(n+1)+2   este   o   suma   de   numere   pare   deci   e   numar   par
=>3n²+3n+6   divizibil   cu   2   si  cu   3   ,e   divizibila   si   cu   2*3=6
Ambele   paranteze   se   divid   la   6   deci   si   suma   lor  se   divide   la   6
Pn=>P(n+1)