Question

Cum demonstrez ca o funcție este crescătoare sau descrescătoare pe R ?

Answer 1

Salutare!

O funcție f : A ⇒ R se numește:

1. crescătoare, dacă ∀ x,y ∈ A, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
2. descrescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
3. strict crescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) < f(y)
4. strict descrescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) > f(y)
5. monotonă, dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare
6. strict monotonă, dacă funcția este strict crescătoare sau strict descrescătoarea

Metode pentru studiul monotoniei:

1) Metoda raportului de variație:

• f : A ⇒ R atunci R(x, y) = $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ , ∀ x ≠ y ∈ A

2) Se cunosc:

1. Dacă R(x, y) ≥ 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este crescătoare pe A
2. Dacă R(x, y) ≤ 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este descrescătoare pe A
3. Dacă R(x, y) > 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este strict crescătoare pe A
4. Dacă R(x, y) < 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este strict descrescătoare pe A

Observații importante:

• O funcție poate fi crescătoare pe un interval și descrescătoare pe un alt interval.
• Sunt false afirmațiile de tipul: f ≥ 0 ⇒ f este crescătoare.

- Lumberjack25