Question

Cum demonstrez ca un numar este irational?

Answer 1

Pentru √2 nu e numar rational: presupunem ca este rational adica se poate scrie ca o fractie ce nu se mai poate simplifica $\frac{p}{q}$, unde p si q∈Z, fara sa aiba divizor comun, deci presupunem $\sqrt{2}= \frac{p}{q},ridicam.la.patrat$, obtinem:
$2= \frac{p^2}{q^2}.sau.2q^2=p^2$, cum membrul stang e un produs cu 2 deci e numar par⇒si p trebuie sa fie par (daca ar fi impar inmultit cu el insusi ⇒ tot numar impar) deci p=2k, k∈Z, atunci ultima egalitate devine: $2q^2=(2k)^2,sau.2q^2=4k^2,$
simplificam cu 2 ⇒$q^2=2p^2$, repetam rationamentul si ⇒q=2n, n∈Z, adica q este par , atunci fractia: $\frac{p}{q}= \frac{2k}{2n}$, deci se poate simplifica, contrar presupuneri ca p si q nu au divizori comuni ,deci nu putem avea √2=$\frac{p}{q}$, adica nu e numar rational.