Question

Cum demonstrez ca un șir este mărginit?
$an = \frac{n + 1}{ {n}^{2} }$
$n \geqslant 1$
​

Answer 1

Răspuns:

$an=\frac{n+1}{n^2}$

Sirul e decrescator

n=1

$a1=\frac{1+1}{1^2} =\frac{2}{1} =2$

Observi ca

n²>n+1 ∀n≥1

Demonstratie

n²-n-1≥0

n²-n-1=0

Δ=5

n1=$\frac{1-\sqrt{5} }{2}$

n2=$\frac{1+\sqrt{5} }{2}$

In afara radacinilor binomul este pozitiv. Tinand cont  ca  n≥1

Inegalitatea e adevatata pt n≥$\frac{1+\sqrt{5} }{2}$≈1,2

Deci pt  n≥2 , n²>n+1 adica  fractia e  sub unitara=>

an∈(0.1/2]

Explicație pas cu pas: