Question

cum pot arata ca x*e <= e^x?
multumesc

Answer 1

Răspuns:

studiind monotonia unei functii ajutatoare, cu ajutorul primei derivate

f(x)=e^x-x*e

Explicație pas cu pas:

f'(x) =e^x-e care se anuleaz pt x=1

x  | -∞............................1...................................∞

____________________________________

f'(x)| -    -     -      -      0 +     +   +     +   +

_________________________________

f(x) |  \      \    \  \     f(0) /     /       /    /

f(x) ≥f(0)=e-e=0

deci

e^x-xe≥0 adica e^x≥xe adica xe≤e^x

C.C.T.D.

Answer 2

Consideram functia f:(0,+∞)->R, f(x)=e^x-ex ≥ 0=f(1), ∀x∈(0,+∞) ⇒ x=1 este punct de minim global, deci si local, f derivabila(fiind compunere de functii elementare) ⇔ f'(1)=0 (Teorema lui Fermat)

f'(x)=e^x-e ⇒ f'(1)=e-e=0 adevarat, deci inegalitatea este adevarata, ∀x∈(0,+∞)