Question

Cum pot determina ecuațiile asimptotelor unei functii de tip Dirichlet?

Answer 1

ciudata rau
prima oara cand vad  o astfelde problema

dar cum vad ca sunt 3 subpuncte la A3, deduc ca nu sunt "capcane" si problema asimptotelor chiar se poate pune;
eu zic sa discuti si cu CINE ti-a dat aceasta tema, care depaseste nivelul uzual al programei

la bunul simt functia tip Dirichelt  e discontinua in fiecare punct  (exceptand eventual un numar finit de puncte, depinde de definirea acesteia) nu e derivabila, nu admite tangenta; m-am gandit la tangenta pt o analogie cu asimptota
dar admite ,daca admite, cate (0,1sau ...n)  "asimptote", cel mult un numar finit  pe fiecare "ramura" pur rationala sau, respectiv, pur irationala


procedand prin analogie cu discutia continuitatii in un eventual numar finitde puncte,(cu limite de siruri) voi aplica acelasi considerente si la asimptote; adica daca aceste asimptote coincid pt ambele ramuri, atunci ele exista; daca nu, nu;
nu garantez corectitudinea raspunsului ;este prima oara cand rezolv o astfelde problema

deexemplu la b)   ..pe ramura R\Z va admite asimptota orizontala  la +∞si la-∞ dreapta y=0 ;pt ca pt x neintreg sinπx∈(-1;0)∪(0;1) si un sir marginit nenul inmultit cu∞ va  avea limita ∞ si atunci 1/∞->0

per ansamblu insa NU as numi-o asimptota pt ca, pt x∈Z, functia chiar ia valoarea 0 deci f(x) nu doar TINDE catre o limita , ∀ ar fi x∈R. , ci o si atinge...si inca de o infinitatede ori
deci NU are asimptota , in acceptiunea uzula a asimptotei:"se apropie infinitde mult FARA sa o atinga"


la e)
pt x∈R\Q  , cand x->0functia ar admite asimptota verticala x=0
dar cum in x=0 functia ia valoarea 1
iar pt x∈Q cand x->0 functia ar admite asimtota verticala x=1
cum 1≠0
functia NU are asim,ptota  verticala  in x=0

daaaar ...la +∞si la-∞ functia tinde catre 0 ata pe sirurile rationale cat si percele irationale deci admite dreapta y=0 ca asimptota orizontal la +infinit si la- infinit


la f)  numitorii sunt  tot timpul pozitivi, nu are asimptoter verticale
dar pe ramura irationala la +si la - infinit tindecatre 1deci ar 'admite" asimptota orzontal y=1
 iar pe ramura rationala ar "admite" o asimptota oblica tip x+a (ptca gradul numaratoruluiestre cu 1 mai maredect al numitorului si raportul coerficientilor dominanti este 1)
cum pt siruri rationale si irationale valorile functiei tind diferit, functia NU are asimptote


ti-am discuta toate cele 3 cazuri, fara sa consult alte materiale
cred95% ca este bine; adica e raspunsul doritde autorul problemei

5% nu sunt convins ca e o cerinta corecta; pt ca functiile tip Dirichelet , definite pe Q si pe R\Q, desi au grafic, NU pot fi REPREZENTATE grafic (asta e lucru acceptat de  catre toti matematicienii inca de la "inventarea" acestor functii .
 Deci cum sa pui problema asimptotei ( o notiune grafica) la un grafic care nu poate fi reprezentat??
Deci exercitiul mi se pare o fortare analitica a unei probleme,  cam la limita teoriei si a rationamentului, speculatie pura

se poatereprezenta grafic doar functia de la b) care are o multima numarabila (si discreta)  de puncte de discontinuitatea
sicare are o ramura ce tinde catre f(x) =0 intrerupta de discontinuitati discrete unde chiar ia valoarea 0