Question

Cum pot scrie ca binom 30i+32?

Answer 1

Vrem să obținem egalitatea

$30i+32=(a+bi)^2$
Adică:
$30i+32=a^2-b^2+2abi$
Două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Obținem:

$a^2-b^2=32\ \ \ \ (1)$  și

$2ab=30\Leftrightarrow ab=15\ \ \ \ (2)$

Pe de altă parte,

$|30i+32|=(|a+bi|)^2\Leftrightarrow \sqrt{30^2+32^2}=(\sqrt{a^2+b^2})^2$, adică:

$a^2+b^2=2\sqrt{481}\ \ \ \ (3)$

Scădem din (1) pe (3) și obținem:

$2a^2=32+2\sqrt{481}\Rightarrow a=\pm\sqrt{16+\sqrt{481}}$

Scădem din (3) pe (1) și obținem în mod asemănător:

$b=\pm\sqrt{\sqrt{481}-16}$

Ca să fie îndeplinită și relația (2), trebuie ca a și b să aibă  același semn.

Deci:

$30i+32=\left(\sqrt{16+\sqrt{481}}+i\sqrt{\sqrt{481}-16}\right)^2$

Rezultatul se poate verifica prin calcul.