Question

Cum rezolv aceste doua exerciții?

Answer 1

12. f:(0,+∞)->(1,3), f(x)=(x+3)/(x+1)

Daca f este strict monotona ea e injectiva;

Facem derivata intai: f'(x)= [(x+1)-(x+3)]/(x+1)²= (-2)/(x+1)² <0, pentru orice x din (0,+∞) ⇒ f strict ↓ pe (0,+∞) ⇒ f injectiva (1)

f continua pe (0,+∞) (definita prin functii elementare continue) ⇒ f are proprietatea lui Darboux ⇒ f(interval)=interval (asta inseamna ca f e surjectiva);

Trebuie sa aratam ca f((0,+∞))=(1,3)

limf(x)=3;   limf(x)=1;    

x->0                    x->+∞

x>0

deci f((0,+∞))=(1,3) ⇒ f surjectiva(2)

Din (1) + (2) ⇒ f bijectiva.

13. f:(1,∞)->(2,∞), f(x)=x^2+1;

Tot asa, daca f e strict monotona ea e injectiva;

f'(x)=2x > 0;  oricare ar fi x din (1,+∞), deci functia e strict crescatoare ⇒f injectiva(1);

f e continua (e definita prin functii elementare continue)⇒ f are proprietatea lui Darboux ⇒f(interval)=interval (surjectivitatea);

Aratam ca f((1,∞))=(2,∞);

limf(x)=2;           limf(x)=+∞;

x->1                                       x->∞

x>1

deci f((1,+∞))=(2,+∞) ⇒ f surjectiva(2)

Din (1)+(2)⇒ f bijectiva.