Question

Cum rezolv asta? Se considera funcția f cu (1+,+infinit)-R functia este x+ln(x-1), sa se arate ca funcția este inversabila si Sa calculez (f^-1)(2) si (f^-1)(e+2) Multumesc anticipat

Answer 1

$f:(1,\infty)\rightarrow \mathbb{R},f(x)=x+\ln(x-1)\\ \text{Ca sa demonstram ca e o functie inversabila,mai intai aratam ca e}\\ \text{bijectiva.}\\ \text{Evident,functia este continua fiind o suma de doua functii continue,}\\ \text{prin urmare are si proprietatea lui Darboux.Sa aflam care este } \\ \text{imaginea functiei.}\\ \displaystyle\limit\lim_{x\searrow 1} f(x)=1-\infty =-\infty\\ \displaystyle\limit\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty+\infty = \infty$

$\Rightarrow Imf=\mathbb{R},\text{deci functia este surjectiva.Pentru a arata ca este}\\ \text{injectiva consideram functiile }g,h:(1,\infty)\rightarrow \mathbb{R},g(x)=x,\\h(x)=\ln (x-1).\text{Deoarece g si h sunt crescatoare ,iar }f=g+h,\\ \text{de aici obtinem ca f este crescatoare,prin urmare este injectiva.}\\ \text{Stim ca functia este injectiva si surjectiva in acelasi timp,deci este }\\ \text{bijectiva si nu in cele din urma inversabila.}$

$\text{Nu poti sa afli cat e inversa functiei,deci nu poti calcula }f^{-1}(2)\text{ si} \\ f^{-1}(e+2).$