Question

Cum se afla cel mai simplu radacinile polinomului?
$x^{3} -4 x^{2}-5x+14=0$
Va rog un pic detaliat, merci

Answer 1

   
Trebuie sa cobori de la gradul 3 la gradul 2.
Pentru asta trebuie sa gasesti o radacina intreaga
pe care o cauti printre divizorii intregi ai termenului liber.
Divizorii intregi ai lui 14 sunt: {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 7; 14}
Prin verificari observam ca doar -2 este radacina intreaga.

Daca  -2 este o radacina, atunci polinomul este divizibil cu (x + 2).

Fie impartim polinomul de gradul 3 la polinomul (x+2) si obtinem un polinom de gradul 2, fie descompunem polinomul de gradul 3 in doua polinoame din care unul de gradul 1 care e (x + 2) si celalalt este polinomul de gradul 2 de care vorbeam mai sus.

Voi descompune polinomul de gradul 3, folosindu-ma de faptul ca (x + 2) este divizorul polinomului de gradul 3.


 [tex]\displaystyle \\ x^{3} -4 x^{2}-5x+14=0 \\ \\ \underbrace{x^{3} +2x}-\underbrace{6 x^{2}-12x} +\underbrace{7x+14}=0\\\\ x^2(x+2) -6x(x+2) +7(x+2)=0 \\ \\ (x+2)(x^2 -6x + 7) = 0 \\ \\ x + 2 = 0 \\ x_1 = \boxed{-2} \\ \\ x^2 -6x + 7 = 0 \\ \\ x_{23} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}= \frac{6 \pm \sqrt{36-28} }{2}= \\ \\ = \frac{6 \pm \sqrt{8} }{2}= \frac{6 \pm 2 \sqrt{2} }{2}= 3 \pm \sqrt{2} \\ \\ x_2 = \boxed{3 + \sqrt{2}} \\ x_3 = \boxed{3 - \sqrt{2}} \\ [/tex]