Question

CUM SE AFLA ULTIMA CIFRA A NUMARULUI
72 LA PUTEREA 2000 + 1 ori 2 ori 3 ori ... ori 2001

Answer 1

72^2000=(2^3*3^2)^2000=2^6000*3^4000=2^4k*3^4k
ultima cifra a lui 2^4k este 6
ultima cifra a lui 3^4k este 1
ultima cifra a lui 2^4K*3^4k este 6
ultima cifra a lui 1*2*3*...*2001 este 0 (deoarece inmultirea contine cel putin un termen care are ultima cifra 0 - ex. 10)
Rapunsul este : ultima cifra a numarului este 6

Answer 2

Le luam pe rand. Mai intai 72^2000:
Ultima cifra a lui 72^2000 depinde de ultima cifra a lui 72, adica de 2^2000. Pe noi ne intereseaza doar ultima cifra.
Acum trebuie sa vedem care este ultima cifra a lui 2^2000. 
Puterile lui 2 au o periodicitate; mai exact, ultima cifra se repeta din 4 in 4:

2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
2⁸ = 256
2⁹ = 512

Dupa cum observi, de la 6 o ia de la capat, deci ultima cifra depinde de restul impartirii puterii la 4, astfel:
Daca restul este 1, atunci ultima cifra este 2
Daca restul este 2, atunci ultima cifra este 4
Daca restul este 3, atunci ultima cifra este 8
Daca restul este 0, atunci ultima cifra este 6

Restul impartirii lui 2000 la 4 este 0 ==> ultima cifra a lui 72^2000 este ultima cifra a lui 2^2000, care este 6.

Produsul:
In acel produs avem numarul 10 (pentru ca are toate numerele de la 1 la 2001), deci ultima cifra a lui este 0.

Ultima cifra a expresiei este 6 + 0 = 6