Matematică, întrebare adresată de m1kee, 8 ani în urmă

Cum se calculeaza aceasta limita: limita cand n tinde la infinit din (n+2)*integrala de la 0 la 1 din x^(n+1)/e^(x) dx.

GreenEyes71: Sigur că te por ajuta. Rezolvarea intergralei definite nu te ajută, nu vei ajunge niciunde. Cea mai scurtă și mai inteligentă rezolvare este cea cu teorema de medie. O integrală definită este de fapt aria situată între verticalele 0 și 1 și între graficul funcției din enunț și axa orizontală OX.

GreenEyes71: * te pot ajuta

GreenEyes71: Teorema de medie afirmă că există un dreptunghi care are aria exact egală cu valoarea integralei. Asta se scrie așa: există c între 0 și 1, astfel încât integrala este egală cu (1 -- 0)*f(c) = f(c) = c^(n +1)*e^c.

Ține cont de faptul că c este între 0 și 1, creează dubla inegalitate, nu uita de n + 2 de la început, aplică criteriul cleștelui și apoi să vezi ce ușor vei obține rezultatul.

m1kee: Imi poti scrie te rog pe o foaie ca sa inteleg mai bine? :d Eu nu stiu exact acea teorema de medie si imi e greu sa imi dau seama.

GreenEyes71: Caută la tine în manual, imposibil să nu o găsești.

GreenEyes71: Ai găsit acest exercițiu la o variantă de bacalaureat ?

m1kee: Da. https://profesorjitaruionel.com/bacalaureat-mate-info-stiinte/ este primul model.

GreenEyes71: Enunțul scris de tine mai sus, nu este cel din modelul de barem. Foarte tare ! Am încercat să te ajut pe un enunț scris greșit ! Sincere felicitări !

GreenEyes71: Mă întreb oare ce este așa de greu să scrii enunțul EXACT așa cum fost conceput de către autor ?

GreenEyes71: Am observat că ai corectat din nou enunțul. Ai rezolvarea completă în barem, nu are rost să o reiau eu. Partea pe care nu o înțelegi tu este asta:

0 ≤ x ≤ 1, înmulțești cu --1 (minus 1) și obții:

--1 ≤ --x ≤ 0, aplici această dublă inegalitate la funcția e la puterea x (care este funcție crescătoare pe intervalul [--1, 0], deci obții:

1/e ≤ e^(--x) ≤ e^0, sau 1/e ≤ e^(--x) ≤ 1, partea asta lipsește din barem, de aceea nu înțelegi.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$\text{In barem au facut asa:}\\ \\ 0\leq x\leq 1 \Big|\cdot (-1) \Rightarrow 0\geq -x\geq -1 \Rightarrow -1\leq -x\leq 0 \Big|e^{()} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow e^{-1}\leq e^{-x}\leq e^{0} \Rightarrow \dfrac{1}{e}\leq e^{-x} \leq 1 \Rightarrow...$