Question

Cum se calculeaza exercitiul asta

Answer 1

Este o functie infinit derivabila

f(x) :R\{-3}

f(x) =f0(x) =1/(x+3)=(x+3) ^(-1)

f'(x)=(-1) (x+3) ^(-1-1) * (x+3)'= -1(x+3) ^(-2)=-1/(x+3)²

f"(x) = (f'(x))'=(-1)*(-2)*(x+3)^(-2-1) *(x+3)'

f"(x)=2/(x+3)³

..........................

presupunem

f(n)(x)=(-1)^n* n!/(x+3)^(n+1)=(-1)^n* n!*(x+3)^(-n-1)

a fost verificata pt n=0;1;2

o presupunem adevarata pt n=n

atunci

f(n+1)(x) =(f(n) (x))'=(-1)^n *n!* (-n-1) (x+3)^(-n-1-1)=(-1)^n*n!*(-1) *(n+1) *(x+3)(-n-2)=

=(-1) ^(n+1)* (n+1)! * /(x+3)^(n+2)

deci Pn⇒P(n+1), formula a fost verificată prin INDUCTIE COMPLETA

domeniul de derivavabilitate ale f(n) (x) este acelasi cu al functiei f(x) si anume R\{-3}