cum se calculeaza lungimea unui vector?
Răspunsuri la întrebare
În orice sistem de coordonate, un vector este determinat prin două puncte - începutul și sfârșitul. De exemplu, în coordonatele carteziene pe plan, un vector este notat ca (x1, y1; x2, y2). În spațiu, respectiv, fiecare punct va avea trei coordonate, iar vectorul va apărea sub formă (x1, y1, z1; x2, y2, z2). Desigur, vectorul poate fi definit pentru patru dimensiuni și pentru orice alt spațiu. Va fi mult mai greu de imaginat, dar din punct de vedere al matematicii, toate calculele asociate acesteia vor rămâne aceleași.
Lungimea vectorului se mai numește și modulul său. Dacă A este un vector, atunci | A | este un număr egal cu modulul său. De exemplu, orice număr real poate fi reprezentat ca un vector unidimensional cu un început la zero. Să spunem că numărul -2 va fi un vector (0; -2). Modulul unui astfel de vector va fi egal cu rădăcina pătrată a pătratului coordonatei sfârșitului său, adică √ ((- 2) ^ 2) = 2.
În termeni generali, dacă A = (0, x), atunci | A | = √ (x ^ 2). Din aceasta, în special, rezultă că modulul unui vector nu depinde de direcția sa - numerele 2 și -2 sunt egale în valoare absolută.
3
Trecem la coordonatele carteziene din avion. Și în acest caz, este mai ușor să calculăm lungimea vectorului dacă începutul acestuia coincide cu originea. Rădăcina pătrată va trebui extrasă din suma pătratelor coordonatelor sfârșitului vectorului. | 0, 0; x, y | = √ (x ^ 2 + y ^ 2). De exemplu, dacă avem un vector A = (0, 0; 3, 4), atunci modulul său | A | = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 5.
De fapt, calculați modulul folosind formula pitagoreică pentru ipotenuză a unui triunghi drept. Segmentele de coordonate care definesc vectorul joacă rolul picioarelor, iar vectorul servește ca o ipotenuză, pătratul căruia, după cum știți, este egal cu suma pătratelor lor.
Când începutul vectorului nu se află la punctul de referință, calculul modulului necesită mult mai mult timp. Va fi necesar să nu pătrundem coordonatele sfârșitului vectorului, ci diferența dintre coordonata sfârșitului și coordonata corespunzătoare a începutului. Este ușor de observat că dacă coordonata începutului este zero, atunci formula se transformă în cea anterioară. Utilizați teorema pitagoreică exact la fel - diferența de coordonate devine lungimile picioarelor.
Dacă A = (x1, y1; x2, y2), atunci | A | = √ ((x2 - x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2). Să presupunem că ni se oferă un vector A = (1, 2; 4, 6). Atunci modulul său este | A | = √ ((4 - 1) ^ 2 + (6 - 2) ^ 2) = 5. Dacă construiți acest vector pe planul de coordonate și îl comparați cu cel precedent, puteți vedea cu ușurință că acestea sunt egale, ceea ce devine evident la calcularea lungimii lor.Această formulă este universală și este ușor de generalizat în cazul în care vectorul nu este localizat pe un plan, ci în spațiu, sau chiar are mai mult de trei coordonate. Lungimea sa va fi în continuare egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor dintre diferențele dintre coordonatele sfârșitului și începutului.