Question

Cum se calculeaza o functie..

a) f:(0,∞)⇒f(X)=2x- Lnx

b)f:(0,∞) R,f(X)=2x Lnx supra x

c) f:(0,∞) ⇒R,f(X)= $x^{2}$ Lnx
lnx = logaritm natural din x

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$f : \left(0 ;+ \infty \right)\rightarrow \mathbb{R}$

$f(x) = 2x - ln(x)$

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(2x - ln(x) \right) = 0 - ( - \infty ) = + \infty$

→ asimptotă verticală: x = 0

→ prima derivată:

$f^{\prime}(x) = \left( 2x - ln(x)\right)^{\prime} = \left( 2x\right)^{\prime} - \left(ln(x)\right)^{\prime} \\ = 2 - \frac{1}{x}$

$f^{\prime}(x) = 0 = > 2 - \frac{1}{x} = 0 <=> \frac{1}{x} = 2 = > x = \frac{1}{2}$

$f \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} - ln\left( \frac{1}{2} \right) = 1 + ln(2)$

→ punct de minim:

$\left( \frac{1}{2};1 + ln(2)\right)$

→ intervale de monotonie:

$f(x) \: descrescătoare:0 < x < \frac{1}{2}$

$f(x) \: crescătoare: \frac{1}{2} < x < + \infty$

→

$1 + ln(2) \leqslant f(x) < + \infty$

→ a doua derivată:

$f''(x) = \left( 2 - \frac{1}{x}\right)^{\prime} = \frac{1}{ {x}^{2} }$

→

$f''(x) \geqslant 0$

→ f(x) este convexă