Question

Cum se calculeaza : P(n): cos a • cos a/2 • cos a/2^2 • ....• cos a/2^n ? Cum ar trebui sa restrang? Multumesc!

Answer 1

$2sinx \cdot cosx=sin2x \Rightarrow \boxed{sinx \cdot cos x= sin2x \cdot \frac{1}{2}}~. \\ \\ sin \frac{A}{2^n}P(n)=cos A \cdot cos \frac{A}{2} \cdot ... \cdot cos \frac{A}{2^{n-1}} \cdot \bold{cos \frac{A}{2^n} \cdot sin \frac{A}{2^n} } \\ \\ sin \frac{A}{2^n}P(n)=cosA \cdot cos \frac{A}{2} \cdot ... \cdot \bold{cos \frac{A}{2^{n-1}} \cdot sin \frac{A}{2^{n-1}}} \cdot \frac{1}{2} \\ \\ sin \frac{A}{2^n}P(n)=cosA \cdot cos \frac{A}{2} \cdot ... \cdot cos \frac{A}{2^{n-2}} \cdot \frac{1}{2^2}$

$............................................................. \\ \\ sin \frac{A}{2^n}P(n)=cosA \cdot sin A \cdot \frac{1}{2^{n}} \\ \\ sin \frac{A}{2^n}P(n)=sin2A \cdot \frac{1}{2^{n+1}} \\ \\ \\ Deci~\boxed{P(n)= \frac{sin2A}{2^{n+1}sin \frac{A}{2^n}} } ~.$

Observatie: Produsul putea fi calculat si prin inductie matematica.