Cum se fac derivatele la matematica ....vreau foarte explicit va rog!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
6
Derivata a aparut in matematica (cercetarea fundamentala) din necesitatea de a studia mai amanuntit functiile, adica variatia unui marimi in...functie de alta marime.
Ea a aparut in epoca revolutiei industriale, cand procesele fizice aproximate cu ecuatii matematice au necesitat o studiere mai amanuntita.
Ulterior, in epoca moderna, derivatele s-au aplicat si in alte domenii, cum ar fi economia sau stiintele sociale.
derivata , prin definitie, este raportul dintre cresterea functiei (variabilei dependente)si cresterea argumentului (variabilei independente), atunci cand cresterea variabilei independente tinde catre zero; adica variatia "instantanee"; instantaneu nu exista fizic, (adica s-ar parea ca exista, dar ajungem la fizica cuantica) poate fi doar aproximat cu marimi din ce in ce mai mici.
deducem deci ca
derivata unei functii intr-un punct se defineste cu ajutorul notiuniide limita a unui sir de valori (sirul fiind o multime numarabila)
fie x0 punct de acumulare al Domeniuluide definitie (punct de acumulare , adica un punct , apartinand sau nu Domeniuluide def, in a carui oricarei vecinatati se gasesc o infinitatede puncte ale Domeniuluide definitie...sorry, tu ai vrut 'foarte explicit", asta este analiza matematica, nici mie nu imi place sau nu o inteleg in totalitate, dar asta nu inseamna ca ea nu are frumusetea si armonia ei, cu care si-au incercat mintile desteptii secolelor de la Newton incoace)
prin definitie, derivata unei functii in un astfel de punct x0, se noteazacu f'(xo) si este
f'(x0)= lim (candx ->xo )din ((f(x)-f(x0))/(x-x0)
unde prin x0 am inteles un anume punct ; i-am zis xo si nu x1,x2 sau x7 ,doar ca sa aratam ca este vorba despre un singur punct, care poatefi orice numar, 1,2,7, -∛57 sau... 0
daca aceasta limita exista si este finita, atunci functia se zice ca este derivabila in punctul x0, iar valoarea aceleri limite se numeste derivata in punctul respectiv
daca limita exista si este infinita, functia nu este derivabila, dar are derivata infinita ...aici ma depaseste si pe mine, dar asa scrie la definitie (cred, dar poti sa verifici si tu)
daca limita nu exista, functia nu este derivabila si nu are derivata
se pot defini derivatele la stanga (cand x tinde cu un sir crescator pe axa numerelo catre x0) sau la dreapta (cand x tinde cu un sir descrescator catre xo).
Desigur, pt.ca limita si deci functia sa fie derivabila, cele 2 limite laterale trebuie sa fie finite si identice.
Totalitatea punctelor incare exista derivata se numeste Domeniu de derivabilitate⊆in Domeniulde definitie
iar functia f'(x) definita pe domeniul de derivabilitate este si ea o functie,ptca depinde de x side f(x) , numita derivata functiei
desigurf'(x) fiind o functie, poate si ea sa aibe (sau nu) derivata ei
aceasta se noteaza cu f"(x) sise numerste derivat a 2-a a functiei
care la randul ei este si ea o functie, care poate (sau nu) ...da, exact, sa aibe si ea derivata
exista functii infinit derivabile
drivata a n-a a functiei se noteaza f(n)(x)
pt familiarizarea legaturii intre functie si derivata cred ca ar fi util sa se studieze derivat unei functii constante
in acest caz f(x) =f(xo) , x≠x0 si atunci f'(x) =0...cresterea este 0 deci functia nu variaza
derivat functeide grad1
f(x)-f(xo)= (a(x-x0) +b-b)/(x-xo)= a=constant decicresterea este constanta ...de aici direct proportionalitatea, Thales , vectori coliniari si altele
acolo unde derivata este pozitiva, functia creste
acolo unde derivata este negativa...cresterea este ...negativa, deci functia de fapt, scade
CUM SE FAC?
Acele limite din definitia derivatei AU FOST CALCULATE, pt.fiecare din functiile studiate, de catre altii, mai destepti decat noi,(cam cu ti-am aratat eu la cazurile astea simple, cu functia constanta si cu functia liniara) si s-au obtinut FORMULELE de derivare pt functiileelementare : polinomiala, logaritmica, exponentila, trigonometrice , irationale (radicali) si combinatii ale acestora
Aceste SE INVATA PE DE ROST...sunt cam multe si trebuie stiute destul de multe dintre ele, dar NU trebuie stiut si cum s-au calculat ele; se fac unele exercitii aplicative la clasa (dar ai terminat a 11-a banuiesc ,decinu mai e cazul) , de obicei cu polinomiala sau cu functia sin x; la BAC insa NU o sa te intrebe procedeul prin care s-a dedus o formula sau alta; va trebui insa sa STII FORMULELE de derivare
Extra
Cum ziceam, notiunea de derivata este asociata variatiei instantanee a unui marimi cum ar fi acceleratia fata de viteza sau viteza fata de spatiu; prin extensie, la o scara mai grosiera si sociala, "tendintele", trend-ul, arata cum variaza o marime in momentul respectiv;tendinta vanzarilor unui produs reprezinta numarul produse vandute/unitateade timp ; se zice ca vanzarile scad sau cresc......la limita si moda poate fi privita ca derivata obiceiurilor imbracat , coafat, machiat, faţă de timp
Ea a aparut in epoca revolutiei industriale, cand procesele fizice aproximate cu ecuatii matematice au necesitat o studiere mai amanuntita.
Ulterior, in epoca moderna, derivatele s-au aplicat si in alte domenii, cum ar fi economia sau stiintele sociale.
derivata , prin definitie, este raportul dintre cresterea functiei (variabilei dependente)si cresterea argumentului (variabilei independente), atunci cand cresterea variabilei independente tinde catre zero; adica variatia "instantanee"; instantaneu nu exista fizic, (adica s-ar parea ca exista, dar ajungem la fizica cuantica) poate fi doar aproximat cu marimi din ce in ce mai mici.
deducem deci ca
derivata unei functii intr-un punct se defineste cu ajutorul notiuniide limita a unui sir de valori (sirul fiind o multime numarabila)
fie x0 punct de acumulare al Domeniuluide definitie (punct de acumulare , adica un punct , apartinand sau nu Domeniuluide def, in a carui oricarei vecinatati se gasesc o infinitatede puncte ale Domeniuluide definitie...sorry, tu ai vrut 'foarte explicit", asta este analiza matematica, nici mie nu imi place sau nu o inteleg in totalitate, dar asta nu inseamna ca ea nu are frumusetea si armonia ei, cu care si-au incercat mintile desteptii secolelor de la Newton incoace)
prin definitie, derivata unei functii in un astfel de punct x0, se noteazacu f'(xo) si este
f'(x0)= lim (candx ->xo )din ((f(x)-f(x0))/(x-x0)
unde prin x0 am inteles un anume punct ; i-am zis xo si nu x1,x2 sau x7 ,doar ca sa aratam ca este vorba despre un singur punct, care poatefi orice numar, 1,2,7, -∛57 sau... 0
daca aceasta limita exista si este finita, atunci functia se zice ca este derivabila in punctul x0, iar valoarea aceleri limite se numeste derivata in punctul respectiv
daca limita exista si este infinita, functia nu este derivabila, dar are derivata infinita ...aici ma depaseste si pe mine, dar asa scrie la definitie (cred, dar poti sa verifici si tu)
daca limita nu exista, functia nu este derivabila si nu are derivata
se pot defini derivatele la stanga (cand x tinde cu un sir crescator pe axa numerelo catre x0) sau la dreapta (cand x tinde cu un sir descrescator catre xo).
Desigur, pt.ca limita si deci functia sa fie derivabila, cele 2 limite laterale trebuie sa fie finite si identice.
Totalitatea punctelor incare exista derivata se numeste Domeniu de derivabilitate⊆in Domeniulde definitie
iar functia f'(x) definita pe domeniul de derivabilitate este si ea o functie,ptca depinde de x side f(x) , numita derivata functiei
desigurf'(x) fiind o functie, poate si ea sa aibe (sau nu) derivata ei
aceasta se noteaza cu f"(x) sise numerste derivat a 2-a a functiei
care la randul ei este si ea o functie, care poate (sau nu) ...da, exact, sa aibe si ea derivata
exista functii infinit derivabile
drivata a n-a a functiei se noteaza f(n)(x)
pt familiarizarea legaturii intre functie si derivata cred ca ar fi util sa se studieze derivat unei functii constante
in acest caz f(x) =f(xo) , x≠x0 si atunci f'(x) =0...cresterea este 0 deci functia nu variaza
derivat functeide grad1
f(x)-f(xo)= (a(x-x0) +b-b)/(x-xo)= a=constant decicresterea este constanta ...de aici direct proportionalitatea, Thales , vectori coliniari si altele
acolo unde derivata este pozitiva, functia creste
acolo unde derivata este negativa...cresterea este ...negativa, deci functia de fapt, scade
CUM SE FAC?
Acele limite din definitia derivatei AU FOST CALCULATE, pt.fiecare din functiile studiate, de catre altii, mai destepti decat noi,(cam cu ti-am aratat eu la cazurile astea simple, cu functia constanta si cu functia liniara) si s-au obtinut FORMULELE de derivare pt functiileelementare : polinomiala, logaritmica, exponentila, trigonometrice , irationale (radicali) si combinatii ale acestora
Aceste SE INVATA PE DE ROST...sunt cam multe si trebuie stiute destul de multe dintre ele, dar NU trebuie stiut si cum s-au calculat ele; se fac unele exercitii aplicative la clasa (dar ai terminat a 11-a banuiesc ,decinu mai e cazul) , de obicei cu polinomiala sau cu functia sin x; la BAC insa NU o sa te intrebe procedeul prin care s-a dedus o formula sau alta; va trebui insa sa STII FORMULELE de derivare
Extra
Cum ziceam, notiunea de derivata este asociata variatiei instantanee a unui marimi cum ar fi acceleratia fata de viteza sau viteza fata de spatiu; prin extensie, la o scara mai grosiera si sociala, "tendintele", trend-ul, arata cum variaza o marime in momentul respectiv;tendinta vanzarilor unui produs reprezinta numarul produse vandute/unitateade timp ; se zice ca vanzarile scad sau cresc......la limita si moda poate fi privita ca derivata obiceiurilor imbracat , coafat, machiat, faţă de timp
Anexe:
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Studii sociale,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă