Question

Cum se face Ex. 2 punctul b). ?

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

pentru rezolvarea sistemului aplicam definitia din legea de compozitie:

sistemul devine:

xy-5x-5y+30=z

yz-5y-5z+30=x

zx-5z-5x+30=y

scazand a doua ecuatie din prima, obtinem:

xy-5x-5y+30-(yz-5y-5z+30)=z-x

y(x-z)-5(x-z)=z-x      y(x-z)=4(x-z)

(y-4)(x-z)=0     cu 3 situatii:

       a)  x≠z   rezulta y=4

Inlocuind in cele 2 ecuatii

4z-20-5z+30=x   z=10-x

(10-x)x-5(10-x)-5x+30=4   10x-x²-50+5x-5x+30=4   x²-10x+20=0

x1,2=[10+/-rad(100-80)/2=5+/-√5 din care doar 5+√5∈G

daca x≠z obtinem

x=5+√5, y=4 si z=5-√5∉G deci nu avem o solutie pentr sistem

[Analog obtinem pentru x≠y

x=5+√5, y=5-√5∉G si z=4 deci nu avem o solutie pentr sistem

pentru z≠y

x=4, y=5-√5∉G si z=5+√5 deci nu avem o solutie pentr sistem ]

       b)  x=z   si y=4

implica sistemul

x²-5x-5x+30=4

x²-10x-26=0    x1,2=[10+/-√100+104)]/2=5+/-√51 din care retinem doar pe 5+√51∈G

solutie: x=z=5+√51  si y=4

Analog se obtin si solutiile simetrice

x=y=5+√51  si z=4

y=z=5+√51  si x=4

 

      c)  x=z   si y≠4

x²-5x-5y+30=y

xy-5x-5y+30=x     si scadem a doua ecuatie din prima

x²-5x-5y+30-xy+5x+5y-30=y-x

x(x-y)=-(x-y)   (x+1)(x-y)=0 care implica x=y  (deoarece x=-1∉G nu este acceptabila)

Concluzie x=y=z implica x²-5x-5x+30=x    x²-11x+30=0 cu x1,2=11+/-√121-120)]/2  cu solutiile

       x1=5=y1=z1

si       x2=6=y2=z2