Question

cum se face exercitiul urmator?...Va rog frumos sa ma ajutati!

E(x)=[2x]-[x]-[x+1/2]
a)demonstreaza(dem) ca E(x)=0 si ca x apartine de [0,1/2)
b)dem ca E(x+1/2)=E(x), x=real
c)dem ca [x]+[x+1/2]=[2x] folosind relatia lui Hermite.

Answer 1

[2x]=[2([x]+{x})]=2[x]+[2{x}]
[x+1/2]=[[x]+{x}+1/2]=[x]+[{x}+1/2]

Deci E(x)=[2x]-[x]-[x+1/2]=2[x]+[2{x}]-[x]-[x]-[{x}+1/2]=[2{x}]-[{x}+1/2].

Daca 0<={x}<1/2 atunci 0<=2{x}<1 si 0<={x}+1/2<1, de unde rezulta [2{x}]=0 si [{x}+1/2]=0, deci E(x)=0-0=0.
Daca 1/2<={x}<1 atunci 1<=2{x}<2 si 1<={x}+1/2<2, de unde rezulta [2{x}]=1 si [{x}+1/2]=1, deci E(x)=1-1=0.

In concluzie, E(x)=0, oricare ar fi x din R, de unde se deduce a), b) si c).