Cum se poate calcula
S=1!+2*2!+3*3!+....+2016*2016!
Imi puteti face o generalizare. va rog?
Sau nu neaparat calcul, dar as vrea sa simplific ecuatia
PS: am notat cu * inmultirea.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
Salut,
![S_n=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot 3!+\ldots+n\cdot n!=\sum\limits_{k=1}^n k\cdot k!=\\\\=\sum\limits_{k=1}^n (k+1-1)\cdot k!=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)\cdot k!-k!]=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)!-k!]=\\\\=2!-1!+\\+ 3!-2!+\\+4!-3!+\\+\ldots+\\+n!-(n-1)!+\\+(n+1)!-n!=\\=(n+1)!-1.\ Deci\ S_n=(n+1)!-1. S_n=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot 3!+\ldots+n\cdot n!=\sum\limits_{k=1}^n k\cdot k!=\\\\=\sum\limits_{k=1}^n (k+1-1)\cdot k!=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)\cdot k!-k!]=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)!-k!]=\\\\=2!-1!+\\+ 3!-2!+\\+4!-3!+\\+\ldots+\\+n!-(n-1)!+\\+(n+1)!-n!=\\=(n+1)!-1.\ Deci\ S_n=(n+1)!-1.](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D1%5Ccdot1%21%2B2%5Ccdot2%21%2B3%5Ccdot+3%21%2B%5Cldots%2Bn%5Ccdot+n%21%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En+k%5Ccdot+k%21%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En+%28k%2B1-1%29%5Ccdot+k%21%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En+%5B%28k%2B1%29%5Ccdot+k%21-k%21%5D%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En+%5B%28k%2B1%29%21-k%21%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%21-1%21%2B%5C%5C%2B+3%21-2%21%2B%5C%5C%2B4%21-3%21%2B%5C%5C%2B%5Cldots%2B%5C%5C%2Bn%21-%28n-1%29%21%2B%5C%5C%2B%28n%2B1%29%21-n%21%3D%5C%5C%3D%28n%2B1%29%21-1.%5C+Deci%5C+S_n%3D%28n%2B1%29%21-1.)
Pentru n = 2016 rezultă suma din enunțul scris de tine.
Simplu, nu ? :-).
P.S. Vezi că ceea ce ai scris tu nu este o ecuație, este o expresie care depinde de n. O ecuație este atunci când o expresie care depinde de x (în general), sau chiar de n este egală cu 0, sau cu altceva. Nu le confundăm. bine ? :-).
Green eyes.
Pentru n = 2016 rezultă suma din enunțul scris de tine.
Simplu, nu ? :-).
P.S. Vezi că ceea ce ai scris tu nu este o ecuație, este o expresie care depinde de n. O ecuație este atunci când o expresie care depinde de x (în general), sau chiar de n este egală cu 0, sau cu altceva. Nu le confundăm. bine ? :-).
Green eyes.
aeliusdinca:
este similar cu fractiile de genul 1/2*3+1/3*4+...+1/n*(n+1). Multumesc mult
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Franceza,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Chimie,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă