Question

Cum se poate calcula
S=1!+2*2!+3*3!+....+2016*2016!
Imi puteti face o generalizare. va rog?
Sau nu neaparat calcul, dar as vrea sa simplific ecuatia
PS: am notat cu * inmultirea.

Answer 1

Salut,

$S_n=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot 3!+\ldots+n\cdot n!=\sum\limits_{k=1}^n k\cdot k!=\\\\=\sum\limits_{k=1}^n (k+1-1)\cdot k!=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)\cdot k!-k!]=\sum\limits_{k=1}^n [(k+1)!-k!]=\\\\=2!-1!+\\+ 3!-2!+\\+4!-3!+\\+\ldots+\\+n!-(n-1)!+\\+(n+1)!-n!=\\=(n+1)!-1.\ Deci\ S_n=(n+1)!-1.$

Pentru n = 2016 rezultă suma din enunțul scris de tine.

Simplu, nu ? :-).

P.S. Vezi că ceea ce ai scris tu nu este o ecuație, este o expresie care depinde de n. O ecuație este atunci când o expresie care depinde de x (în general), sau chiar de n este egală cu 0, sau cu altceva. Nu le confundăm. bine ? :-).

Green eyes.