Question

Cum se rezolva:
a) G p.s. a lui R in raport cu legea data
b) (G, o) grup comutativ pt:
G=(1,infinit) x o y =xy-x-y+2
c) sa se demonstreze: x o y = (x-1)(y-1)+1
Multumesc...

Answer 1

banuiesc ca p. s nu e post scriptum, ci parte stabila;  trebuia sa incepi prin a da legea
x o y =xy-x-y+2



Rezolvare
incepem cu c)
calcul direct
(x-1)(y-1)+1=xy-x-y+1+1=xy-x-y+2 adevarat

a) ∀x,y∈G, (x-1)* (y-1)>0,⇒
(x-1)* (y-1)=1>1 deci x°y∈G,   (G,°) parte stabila

b) asociativitate
trebuie sa demonstrzi ca (x°y)°z= x°(y°z)
faci fie folosind

x o y =xy-x-y+2

fie , mai rapid ,folosind realatiadeb al punctul c)
procedand asa iti iese

(x°y)°z= x°(y°z) = (x-1) (y-1) (z-1)+1


comutativitate
se observa usor ca x°y=y°x, datorita simetriei relatiei date

iti las tie sa arati asta, cu oricare din formele de definire alegiide com,pozitie °


elemeny neutru , trebuie cautat si arata ca ∈G
pt ca am presupus comutativitatea demonstrata voi efectua doar x°e
x°e=x
 (x-1) (e-1)+1=x
(x-1)(e-1)=x-1
 (x-1)(e-1)-(x-1)=0
 (x-1)(e-1-1)=0
(x-1) (e-2)=0 ∀x∈G
e=2∈G

element invers ;trebuie arata ca exista si ∈G, pt ∀x∈G
x°x'=2
 (x-1)(x'-1) +1=2
(x-1) (x'-1)=1
x'-1=1/(x-1)
x'=1+1/(x-1) care exista si ∈G, ptca 0<1/(x-1)<∞ deci 1+1/(x-1) ∈G
deci ∀x∈G, exista x'∈G, asafel incat x°x'=e
Obs nu am mai verificat x'°x, am considerat comuitativitatea demonstrata
Decin ° are element invers

Cum G  ° , ca parte stabuila fata de R, prezinta  propietatile de asociativitate, el neutru, el invers si comutativitate, (G,° ), grup comutativ