Cum se rezolva AL 86* ?
Anexe:
albastruverde12:
O varianta (poate nerecomandata): Daca notam P=x1x2...xn, vom avea E=log_x1(P)+log_x2(P)+...+log_xn(P) - n = 1/log_P (x1) + 1/log_P (x2) +... + 1/log_p (xn) - n. Si cum fiecare fractie este pozitiva... din inegalitatea CBS va rezulta E >= n^2/(log_P(x1)+log_P(x2)+...+log_P(xn)) -n= n^2 - n = n(n-1) (si punand conditia de egalitate => minimul are loc daca x1=x2=...=xn)
Asa am facut si eu la inceput. Cum ai scris in primele 2 randuri,.... -n Dar de la al 3-lea rand, nu imi dau seama cum ai facut. Ce inseamna inegalitatea CBS?
CBS = Cauchy-Buniakovski-Schwarz
N-am invatat despre ea. Doar la olimpiadele grele cred ca se dau probleme cu aceasta inegalitate. Poate voi invata la facultate despre ea.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
9
Salut,
O indicație de rezolvare. Conform enunțului, oricare dintre logaritmi are numai valori pozitive, pentru că atât baza, cât și argumentul logaritmului aparțin intervalelor (0, 1) SAU (1, +∞). Observația este foarte importantă.
Dacă desfacem fiecare logaritm (pe baza regulii că logaritm de produs este suma logaritmilor), obținem n--1 termeni.
În total, pentru toată expresia E avem n logaritmi de desfăcut, deci numărul de termeni după desfacere este n(n -- 1).
După desfacere, grupăm logaritmii, astfel încât să obținem o pereche de genul:
Vom obține deci n(n -- 1)/2 perechi. Din fericire, nu va exista niciun logaritm care să nu își găsească perechea.
Fiecare termen al perechii este pozitiv (vezi observația de mai sus), deci putem aplica inegalitatea mediilor, adică:
Dacă fiecare pereche are valoarea minimă 2, atunci valoarea minimă a tuturor celor n(n -- 1)/2 perechi este chiar n(n -- 1).
Aceasta este deci valoarea minimă a lui E.
Simplu, nu ? :-).
Green eyes.
O indicație de rezolvare. Conform enunțului, oricare dintre logaritmi are numai valori pozitive, pentru că atât baza, cât și argumentul logaritmului aparțin intervalelor (0, 1) SAU (1, +∞). Observația este foarte importantă.
Dacă desfacem fiecare logaritm (pe baza regulii că logaritm de produs este suma logaritmilor), obținem n--1 termeni.
În total, pentru toată expresia E avem n logaritmi de desfăcut, deci numărul de termeni după desfacere este n(n -- 1).
După desfacere, grupăm logaritmii, astfel încât să obținem o pereche de genul:
Vom obține deci n(n -- 1)/2 perechi. Din fericire, nu va exista niciun logaritm care să nu își găsească perechea.
Fiecare termen al perechii este pozitiv (vezi observația de mai sus), deci putem aplica inegalitatea mediilor, adică:
Dacă fiecare pereche are valoarea minimă 2, atunci valoarea minimă a tuturor celor n(n -- 1)/2 perechi este chiar n(n -- 1).
Aceasta este deci valoarea minimă a lui E.
Simplu, nu ? :-).
Green eyes.
Multumesc mult !!! La aflarea numarui de termeni.. nu am stiut cum sa procedez sa ii aflu :))))
Mi-am luat Brain damage gandindu-ma la asta :)))
dar acum, dupa ce mi-ati spus, mi se pare ca era o banalitate sa aflu cati sunt dupa desfacere.
Răspuns de
3
Sper sa intelegi rezolvarea, daca nu, poti intreba.
Anexe:
Multumesc mult !
la mine , problema era, cum sa numar cati termeni are expresia, asta mi-a dat mie la creier :))
Alte întrebări interesante
Franceza,
8 ani în urmă
Franceza,
8 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Informatică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă