Question

Cum se rezolva ecuatia : log$_{3}$x+log$_{9}$x-log$_{\sqrt{3}}$x=$\frac{3}{2}$

Answer 1

fie log in baza3 din x=t
atunci login baza 3²din x=1/2 * t
si log in baza√3 din x=1:(1/2) *t=2t

atunci
t+t/2-2t=3/2
-t/2=3/2
-t=3
t=-3

log in baz 3 din x=-3
3^(-3)=x
1/27=x
x=1/27

Answer 2

Fie ecuația:

[tex]\it - log_a x + log_{a^2} x + log_{a^4} x = \dfrac{3}{2} \\ \\ \\
Pentru\ a=\sqrt3=3^{\frac{1}{2}},\ se\ ob\c{\it t}ine\ ecua\c{\it t}ia\ din\ enun\c{\it t}.\\ \\ \\
Not \breve{a} m \ \ log_a x = t \Rightarrow \begin{cases} log_{a^2} x = \dfrac{log_a x}{log_a a^2} = \dfrac{log_a x}{\it 2} =\dfrac{t}{\it 2} \\ \\ \\ log_{a^4} x = \dfrac{log_a x}{log_a a^4} = \dfrac{log_a x}{ \it4} =\dfrac{t}{\it 4}\end{cases}[/tex]

Cu substituțiile de mai sus, ecuația devine:

$\it-t+\dfrac{t}{2} + \dfrac{t}{4} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow -4t+2t+t = 6 \Rightarrow -t = 6|_{\cdot(-1)} \Rightarrow t = -6$

Revenim asupra notației și rezultă:

[tex]\it log_a x = -6 \Rightarrow x = a^{-6} \\ \\ Pentru\ a = 3^{\frac{1}{3}} \Rightarrow x = ( 3^{\frac{1}{3}})^{-6} = 3^{\frac{-6}{2}} =3^{-3} = \dfrac{1}{3^3} =\dfrac{1}{27}[/tex]