Question

Cum se rezolva exercitiile de la 10 si de la 11?

Answer 1

Salut,

În primul rând trebuie să știi formulele și condițiile de la logaritmi.

Cele 2 condiții la logaritm sunt:

- baza logartimului să aparțină intervalului (0,1) U (1, +∞);
- argumentul logartimului să aparțină intervalului (0, +∞).

La punctul a), baza este 2, care satisface condiția 1 de mai sus, deci nu-i stres.

A doua condiție: 4ˣ + 2ˣ -- 4 > 0, sau 2²ˣ  + 2ˣ -- 4 > 0, sau (2ˣ)² + 2ˣ -- 4 > 0.

2ˣ > 0. Notăm cu t = 2ˣ, deci inecuația devine t² + t -- 4 > 0

$t_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-4)}}2=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}2.$

Funcția f(t) = t² + t -- 4 are valori mai mari decât zero pentru t ∈ (--∞, (--1--√17)/2) U (√17--1)/2, +∞). Cum t > 0, avem că t > (√17--1)/2, sau 2ˣ > (√17--1)/2, deci log₂2ˣ > log₂(√17--1)/2), deci x > log₂(√17--1)/2).

log₂(4ˣ + 2ˣ -- 4) = x + 2 ⇒ 4ˣ + 2ˣ -- 4 = 2ˣ⁺², sau (2ˣ)² + 2ˣ -- 4 = 2²·2ˣ, sau (2ˣ)²-- 3·2ˣ -- 4 = 0

$2^x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot(-4)}}2=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}2.$

Deci 2ˣ = --1, deci x₁ ∉ R.

2ˣ = 4, deci x₂ = 2.

Verificare: log₂(4² + 2² -- 4) = 2 + 2, sau log₂4² = 4, sau log₂2⁴ = 4, sau 4 = 4, deci x = 2 este soluție.

Așa se fac toate celelalte. Spor la treabă !

Green eyes.