Question

Cum se rezolva?

Fie a=1+3+3^2+3^3+....+3^65.
Aratati ca a este numar par.
aratati ca a este divizibil cu 13

Answer 1

a=1+3+3²+3³+....+3⁶⁵
Ultima cifra a lui a este 4 deoarece: 
ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta in seturi de 4: 3,9,7,1
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
65:4=16 rest 1
=> ultima cifra a sirului :
1+(3+9+7+1)x16+3=1+20x16+3=324 
Daca ultima cifra a lui a este 4=> a este par.

a=1+3+3²+3³+....+3⁶⁵ =
=(1+3+9)+ 3³(1+3+9)+...+3⁶³(1+3+9)=
=13+3³*13+3⁶*13+...+3⁶³*13=
=13x(1+3³+3⁶+...+3⁶³)
=> a este divizibil cu 13