Question

Cum se rezolva integrala :$\int{ \frac{1}{ x^{2} +2x} } \, dx$

Answer 1

Salut,

$\dfrac{1}{x^2+2x}=\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{A}x+\dfrac{B}{x+2}=\dfrac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\dfrac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}$

Metoda se numește a coeficienților nedeterminați, trebuie îl aflăm pe A și pe B.

Din cele de mai sus (egalarea coeficienților) avem că:

A + B = 0
2A = 1, deci A = 1/2 și B = --1/2, deci:

$\dfrac{1}{x^2+2x}=\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}x-\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}{x+2}.$

Integrala nedefinită devine:

$\int\left(\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}x\right)dx-\int\left(\dfrac{1}2\cdot\dfrac{1}{x+2}\right)dx=\dfrac{1}2\cdot\int\dfrac{dx}x-\dfrac{1}2\cdot\int\dfrac{dx}{x+2}=\\\\\\=\dfrac{ln|x|}2-\dfrac{ln|x+2|}2=\dfrac{1}2\cdot\ln\left|\dfrac{x}{x+2}\right|+C.$

Green eyes.