Question

Cum se rezolva mai departe...? ))

Answer 1

Transformăm membrul stâng al ecuației:

[tex]\it 3log_6\left(3-\dfrac{3}{2x+3}\right) = 3log_6\dfrac{6x+6}{2x+3} = 3log_6 6\cdot\dfrac{x+1}{2x+3} = \\ \\ \\ = 3\left(log_6 6+log_6\dfrac{x+1}{2x+3}\right) = 3\left(1+log_6\dfrac{x+1}{2x+3}\right) = \\ \\ \\ =3+3log_6\dfrac{x+1}{2x+1} \ \ \ \ \ \ (1)[/tex]

Transformăm membrul drept al ecuației:

$\it 4log_6\left(2+\dfrac{1}{x+1}\right) +3 = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1} +3 \ \ \ \ \ \ (2)$

[tex]\it (1), (2) \Rightarrow 3+3log_6\dfrac{x+1}{2x+3} = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1}+3 |_{-3} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 3log_6\dfrac{x+1}{2x+3} = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1} \\ \\ \\ Notez\ \ \dfrac{x+1}{2x+3} =a[/tex]

Ecuația  devine :

[tex]\it 3log_6a=4log_6\dfrac{1}{a} \Rightarrow 3log_6a= -4log_6 a \Rightarrow 3log_6a + 4log_6 a = 0 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 7log_6 a = 0 \Rightarrow log_6 a=0 \Rightarrow a = 1 [/tex]

Revenim  asupra  notației și rezultă:

$\it \dfrac{x+1}{2x+3} =1 \Rightarrow 2x+3=x+1 \Rightarrow x=-2$

Verificăm dacă x = -2 este soluție a ecuației inițiale:

[tex]\it 3log_6\left(3-\dfrac{3}{-4+3}\right) = 4log_6\left(2+\dfrac{1}{-2+1}\right) +3 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 3log_6 (3+3) = 4log_6(2-1) +3 \Rightarrow 3log_6 6 = 4log_6 1+3 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 3\cdot1=4\cdot0+3 \Rightarrow 3=3\ (A)[/tex]

Deci, ecuația dată admite soluția unică  x = - 2.