Question

cum se rezolva o inecuatie in care la numarator este un modul?

Answer 1

De exemplu, avem urmatoarea inecuatie:
$\frac{|x+2|}{x-1}\ \textgreater \ 4$
Punem o conditie de existenta la numitor:
x-1 diferit de 0 => x diferit de 1.

Treci in partea cealalta pe 4(cu semn schimbat):
$\frac{|x+2|}{x-1}-4\ \textgreater \ 0$

Aduci la acelasi numitor - (x-1):
$\frac{|x+2|-4(x-1)}{x-1}\ \textgreater \ 0\ \textless \ =\ \textgreater \ \frac{|x+2|-4x+4}{x-1}\ \textgreater \ 0$

Acum, noi avem la numarator si la numitor doua expresii.
Noi stim ca o fractie este mai mare decat 0 daca:
I) numaratorul si numitorul sunt pozitive
II) numaratorul si numitorul sunt negative
Conform regulii - cu - fac +

Atunci o sa avem doua sisteme de inecuatii:
$\left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right. si \left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textless \ 0} \atop {x-1\ \textless \ 0}} \right.$

Luam primul sistem:
$\left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right.$

Prima inecuatie este aceasta:
|x+2|-4x+4>0

Folosim proprietatile modulului:
|x+2|= 
1) x+2, daca x+2>=0, x>= -2
2) -x-2, daca x+2<0, x<-2

Atunci avem doua cazuri:
Pentru x<-2=>(-x-2)-4x+4>0=>-x-2-4x+4>0=>-5x+2>0=>-5x>-2|*(-1)
=>5x<2=>x<2/5=>x∈(-∞,2/5)∩(-∞,-2)=>x∈(-∞,-2)

Pentru x>= -2 => x+2-4x+4>0=>-3x+6>0=>-3x>-6|*(-1) =>3x<6|:3=>x<2
=>x∈[-2,2)
Aici am luat conditiile pentru modul si le-am intersectat cu ce mi-a dat in inecuatie.
=> x∈(-∞,-2)∪[-2,2)

Acum pentru a doua inecuatie:
x-1>0=>x>1=>x∈(1,∞)

Se intersecteaza cele doua solutii:
=>x∈(1,2)
Al doilea sistem de inecuatii:
$\left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textless \ 0} \atop {x-1\ \textless \ 0}} \right.$

Prima inecuatie:
|x+2|-4x+4<0

Avem aceleasi cazuri pentru |x+2|:

I)x+2, daca x>=-2
II)-x-2, daca x< -2

Pentru I) => x+2-4x+4<0 => -3x+6<0 => -3x<-6|*(-1) => 3x>6|:3 => x>2
x∈(2,∞)

Pentru II) => -x-2-4x+4<0 => -5x+2<0=>-5x<-2|*(-1) => 5x>2=>x>2/5

Dar x<-2 atunci x nu are solutie aici.

=> x∈(2,∞)

A doua inecuatie:
x-1<0=>x<1 => x∈(-∞,1)

Cu prima solutie nu se intersecteaza, deci aici x∈Ф

Atunci avem doar o solutie:
S=(1,2)
Succes la mate.
Sper ca te-am ajutat